Racines n -ièmes de l'unité
Les racinesn-ièmes de l'unité sont les nombres zvériant l'équation : zn= 1
Soitz un nombre complexe écrit sous sa forme exponentielle :(r, θ)∈R2, z=reiθ. On a alors : zn= 1⇔rn= 1 etnθ= 2kπ, k∈Z
On a nécessairementr= 1, doncz∈Uet∃k∈Z, θ= 2πk
n . On détermine désormais les valeurs deket l'unicité des solutions :
Soitketk0 dansZ:
exp 2πki
n n
= exp
2πk0i n
n
= 1
⇔exp 2πki
n
= exp
2πk0i n
⇔ 2πk
n ≡ 2πk0
n (mod 2π)
⇔ k n ≡ k0
n (mod 1)
⇔k≡k0 (mod n) Ainsi, l'ensemble des solutions estUn=
exp
2πki n
, k∈J0 ; n−1K
.
Les images des racines n-ièmes de l'unité dans le plan complexe sont les points du cercle unité d'arguments 0,2π/n,4π/n, . . . ,(n−1)π/n modulo2π. Ce sont les sommets d'un polygone régulier ànsommets centré en 0 et dont un des sommets est égal à 1.
N.B. :Uest l'ensemble des complexes de module 1 et pourn∈N,Un est l'ensemble des racines n-ièmes de 1.
Exercices d'applications
Exercice 1 : Produit des racines n-ièmes de l'unité.
Calculer, pourndansN, le produit desn-ièmes racines de l'unité suivant :
n−1
Y
k=0
exp 2πki
n
Exercice 2 : Limite de suites.
Soit n ∈ N, n ≥ 3. On note Ln et An la longueur et l'aire du polygone (régulier) dont les sommets sont les racinesn-ièmes de 1. Donner une expression simple de Ln et de An. Déterminer les limites des suites (Ln)n≥3 et (An)n≥3.
Exercice 3 : Somme des puissancesp-ièmes des racines n-ièmes de 1.
Soitp dansN. Calculer la somme donnée en titre, c'est-à-dire :
n−1
X
k=0
exp 2πki
n p
=
n−1
X
k=0
exp
2πpki n
=
n−1
X
k=0
exp 2πpi
n k
Exercice 4 (Dicile) : Inclusion des ensemblesUk.
Soitnetm dansN∗. À quelle condition a-t-on l'inclusionUm ⊂Un?
N. Tosel et Q. De Muynck 1/2
Corrigés
Exercice 1
n−1
Y
k=0
exp 2πki
n
= exp 2πi n
n−1
X
k=0
k
!
= exp 2π(n−1)n2 i n
!
= eπi(n−1)
Quandnest pair, elle vaut−1et1 quandnest impair.
Exercice 2
Comme le polygone est régulier, il sut de déterminer la longueur d'une arête, et l'aire d'une part du polygone et de les multiplier par n. Le point d'axe 1 est présent sur tous les polygones. On calcule donc la longueur d'une arêtel entre ce point et la première racine :exp(2πi/n)
l=|exp(2πi/n)−1|=|2 sin(π/n) ei(π/n+π/2)|= 2 sinπ n
. (par technique de l'arc-moitié) Ainsi, on a∀n∈N, n≥3, Ln= 2nsin
π n
Pour l'aire, on calcule l'aire A de la première part. C'est un triangle de base 1 et de hauteur la valeur de la partie imaginaire de la première racinen-ième de l'unité (faire un dessin) :
A= Im
exp 2πi
n
×1 2 = sin
2π n
×1
2 ⇒ ∀n∈N, n≥3, An= n 2 sin
2π n
Calcul des limites : 1
n −−−−−→
n→+∞ 0et sin(x) x −−−→
x→0 1 Ln= 2nsin π
n
= 2πsin πn
π n
; An= n
2sin 2πn
=πsin 2πn
2π n
Par composition, on a donc :Ln−−−−−→
n→+∞ 2π An−−−−−→
n→+∞ π; ce qui est cohérent avec les conjectures.
Exercice 3
On procède par disjonction des cas :
•Sindivise p :
La progression est alors linéaire, en posantq =p/n on a donc :
n−1
X
k=0
exp 2πki
n p
=
n−1
X
k=0
exp (2πqi)k=
n−1
X
k=0
1 =n
•Sinne divise pas palors :
n−1
X
k=0
exp 2πki
n p
=
n−1
X
k=0
exp 2πpi
n k
= 1−e2πpi 1−e2πpi/n = 0
car1−e2πpi = 1−1 = 0. Exercice 4
On s'aperçoit facilement qu'on a l'inclusion quand m divise n. Démontrons que Um ⊂ Un si et seulement si m|n:
• Supposons que m divise n, alors il existe q dans N∗ tel que n = mq. Supposons maintenant z ∈ Um, alors zm= 1⇒(zm)q = 1⇒zmq = 1⇔zn= 1⇔z∈Un. Le sens direct est démontré.
• Supposons que m ne divise pas n, alors n = mq +r, r 6= 0. Supposons que Um ⊂ Un et z ∈ Um, alors zm = 1, zmq+r = 1. Alors zr = zmq+r
zmq = 1 ⇒ zr ∈ Ur. Mais alors Ur ⊂ Um car Um ⊂ Un, mais r < m donc card(Ur)<card(Um), ce qui est absurde ! DoncUm6⊂Un
N. Tosel et Q. De Muynck 2/2
