MPSI – Programme de colles – Semaine 21
(du 15/03/2021 au 19/03/2021)1 Révisions de MPSI.
Un exercice sur le chapitre suivant sera posé à chaque élève : - Chapitre 8 : Groupes, anneaux, corps.
2 Espaces vectoriels. Dimension finie. Applications linéaires.
Tout le programme précédent sur les chapitres 19, 20 et 21.
Lesquestions de cours au programme sont les suivantes :
LpE, Fq est un sous-espace vectoriel de FE (Théorème 5, Chap 21). Soit u P LpE, Fq. L’image réciproque d’un sous-espace vectoriel de F par u est un sous-espace vectoriel de E (Théorème 14, Chap 21). Si pxiqiPI famille libre de E et u P LpE, Fq injective, alors pupxiqqiPI libre (Proposition 23, Chap 21). Théorème du rang (Théorèmes 58 et 59, Chap 21). Caractérisation des isomorphismes entre deux espaces vectoriels de même dimension finie et son corollaire (Théorème 60 et Corollaire 61, Chap 21).
3 Formes linéaires et hyperplans.
• Formes linéaires. Formes coordonnées relativement à une base. Base duale en dimension finie.
Question de cours : Théorème de la base duale en dimension finie (Théorème 67, Chap 21).
• Hyperplans. Caractérisation des hyperplans : un sev est un hyperplan ssi il admet une droite vectorielle comme supplémentaire. Équations linéaires d’un hyperplan. Intersection d’hyperplans en dimension finie.
Question de cours : SoitE unK-ev de dimension finienPN˚,mPN˚ etH1, . . . , Hm des hyperplans de E. AlorsdimpH1X. . .XHnq ěn´m(Proposition 74, Chap 21).
4 Sous-espaces affines (cours uniquement).
Question de cours : Intersection de sous-espaces affines (Théorème 12, Chap 22).
5 La semaine suivante.
Applications linéaires, hyperplans, sous-espaces affines, calcul matriciel.
Révisions sur : Calcul intégral et fonctions usuelles.
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