Programme de colle de la semaine 10 du 12/11 au 18/11

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©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2018-2019

1 Programme de colle de la semaine 10 du 12/11 au 18/11

Équations différentielles

Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle. Les fonctions considérées seront définies sur I et à valeurs dans K = R ou C .

Exemple introductif : trouver les fonctions f dérivables sur ]0, + ∞ [ vérifiant ∀ (x, y) ∈ R

²

, f (xy) = f (x) + f(y).

I Équations différentielles linéaires d’ordre 1

1. Définition : une fonction f : I → C est dite dérivable (resp. continue) sur I si ses fonctions composantes Re(f ) et Im(f) sont dérivables (resp. continues). On pose alors

f

^′

= (Re(f))

^′

+ i(Im(f))

^′

.

En particulier, la partie réelle (resp. imaginaire) de la dérivée est la dérivée de la partie réelle (resp. imaginaire).

Exemple : si q ∈ C , la dérivée de x 7→ e

^iqx

est x 7→ iqe

^iqx

.

2. (⋆) Les solutions de l’équation homogène (H) : y

^′

+ a(x)y = 0 avec a fonction continue sur I sont { λe

⁻^A

| λ ∈ K } avec A primitive de a .

Remarques :

• toutes les solutions sont proportionnelles à la solution e

^−A

. On dit que l’ensemble des solutions S

^H

est une droite vectorielle (contient la fonction nulle).

• lorsque a est une fonction constante, les solutions de l’équation homogène sont pro- portionnelles à x 7→ e

⁻^ax

.

3. (⋆) Les solutions de l’équation avec second membre (E) : y

^′

+ a(x)y = b(x) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière les solutions de l’équation homogène.

L’ensemble des solutions S

^E

est une droite affine de direction S

^H

. Remarques :

• lorsque a et b sont constantes, la fonction constante

_a^b

est solution particulière.

• si l’équation est de la forme a(x)y

^′

+ b(x)y = c(x), on se place sur un intervalle où la fonction a ne s’annule pas et on est ramené à résoudre y

^′

+

_a(x)^b(x)

=

_a(x)^c(x)

.

• Vocabulaire de la physique : le second membre est appelé excitation. Une solution de l’équation homogène (H) est appelée solution du régime libre et une solution particulière de (E) est appelé solution du régime forcé, indépendante des conditions initiales. Elle a la «même forme» que le terme d’excitation.

4. (⋆) Méthode de la variation de la constante : recherche d’une solution particulière de y

^′

+ a(x)y = b(x) sous la forme y

p

(x) = λ(x)e

⁻^A(x)

, alors λ

^′

= be

^A

. En particulier, on peut écrire avec x

₀

∈ I,

y

p

(x) = e

^−A(x)

Z _x

x0

b(t)e

^A(t)

dt.

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2 5. Problème de Cauchy : il existe une unique solution définie sur I de y

^′

+ a(x)y = b(x) a continue sur I vérifiant la condition initiale y(x

₀

) = y

₀

. Cela signifie que (si I = R ) par un point du plan, passe une et une seule courbe intégrale. En particulier, les courbes intégrales ne s’intersectent pas.

Remarque : il peut ne pas y avoir unicité pour une équation non linéaire. Exemple : y

^′

= √ y et y(0) = 0.

6. Problèmes de raccord Pour résoudre a(x)y

^′

+b(x)y = c(x) lorsque la fonction a : R → R s’annule en x

₀

par exemple, on la résoud sur les intervalles ] − ∞ , x

₀

[ et ]x

0

, + ∞ [. On se demande alors s’il existe des solutions définies sur R tout entier. Elles ne peuvent être obtenues qu’en «raccordant» par continuité et dérivabilité des solutions sur ] − ∞ , x

0

[ avec des solutions sur ]x

0

, + ∞ [. On peut alors obtenir soit 0 solution, soit 1 solution, soit 1 droite de solutions (une constante), soit un plan de solutions (deux constantes).

II EDL du second ordre à coefficients constants

1. Résolution de l’équation homogène à coefficients constants (a 6 = 0) ay

^′′

+by

^′

+cy = 0 (H).

On note ∆ le discriminant du polynôme P = aX

²

+ bX + c.

(a) Cas K = C

• si ∆ 6 = 0, P admet deux racines r

1

et r

2

. On a alors

S

^H

= { x 7→ αe

^r¹^x

+ βe

^r²^x

| (α, β) ∈ C

²

} .

• si ∆ = 0, P admet une unique racine r. On a alors

S

^H

= { x 7→ αe

^rx

+ βxe

^rx

| (α, β) ∈ C

²

} . (b) Cas K = R

• si ∆ > 0, P admet deux racines réelles r

1

et r

2

. On a alors (régime apériodique) S

^H

= { x 7→ αe

^r¹^x

+ βe

^r²^x

| (α, β) ∈ R

²

} .

• si ∆ = 0, P admet une unique racine réelle r. On a alors (régime critique) S

^H

= { x 7→ αe

^rx

+ βxe

^rx

| (α, β) ∈ R

²

} .

• si ∆ < 0, P admet deux racines complexes conjuguées r

1

= ρ+iw et r

2

= ρ − iw.

On a alors (régime pseudo-périodique)

S

^H

= { x 7→ e

^ρx

(α cos(wx) + β sin(wx)) | (α, β) ∈ R

²

} . Remarques :

• Dans tous les cas les solutions de ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0 sont combinaisons linéaires de deux solutions non proportionnelles. On dit que S

^H

est un plan vectoriel (espace vectoriel de dimension 2).

• (⋆) Un signal de la forme t 7→ a cos(ωt) + b sin(ωt) peut s’écrire sous la forme

t 7→ A cos(ωt + φ) avec ω la pulsation, A l’amplitude et φ le déphasage.

(3)

3 2. Avec second membre.

Les solutions de l’équation avec second membre ay

^′′

(x) + by

^′

(x) + cy(x) = f (x) (E) s’obtiennent en ajoutant à une solution particulière de (E) les solutions de l’équation homogène (H) ay

^′′

+ by

^′

+ cy = 0.

Remarque : on dit que l’ensemble des solutions de (E) est un plan affine de même direction que S

^H

.

3. Comment trouver une solution particulière ? Quelques «recettes

¹

»

• Cas d’un second membre polynomial, on cherche une solution particulière polyno- miale.

• Cas d’un second membre de la forme f(x) = e

^mx

avec m ∈ K : l’équation (E) admet une solution particulière y

p

de la forme :

– y

p

(x) = qe

^mx

si m n’est pas racine de aX

²

+ bX + c avec q ∈ K . – y

p

(x) = qxe

^mx

si m est racine simple de aX

²

+ bX + c.

– y

p

(x) = qx

²

e

^mx

si m est racine double de aX

²

+ bX + c.

• Principe de superposition

• Cas d’un second membre de la forme f (x) = cos ωx (signal sinusoïdal de pulsation ω). Alors on aura une solution particulière sinusoïdale avec même pulsation, du type y

p

(x) = A cos ωx + B sin ωx (ou y(t) = A cos(ωt + φ)). Pour cela, on cherche une solution complexe de l’équation (E

c

) : ay

^′′

+ by

^′

+ c

^′

= e

^iωx

. On en prend la partie réelle et cela fournit une solution particulière de (E).

4. Problème de Cauchy : il existe une unique solution de ay

^′′

+ by

^′

+ cy = f (x) vérifiant les conditions initiales y(x

0

) = y

₀

et y

^′

(x

0

) = y

₀^′

.

Remarque : on impose une condition sur la position y(x

0

) et la vitessey

^′

(x

0

) à un instant donné x

₀

. Il n’y a pas forcément unicité, si on impose deux positions. Par exemple, la fonction sinus et la fonction nulle sont solutions de y

^′′

+ y = 0 et sont nulles en 0 et π.

1. Ce sont les seules au programme.