Lyc´ee Paul Constans, Montlu¸con, 2019-2020 Programme de colle semaine 11 - du 25/11 au 29/11 1
Programme de colle semaine 11 - du 25/11 au 29/11
Questions de cours
• L’interrogation orale (colle) comportera une ou des questions de cours, ou proche du cours.
Celle-ci pourra ˆetre pos´ee par l’examinateur au d´ebut ou pendant la colle.
Voici ci-dessous des exemples de questions de cours.
• Enoncer la formule du binˆ´ ome de Newton et la factorisation de an−bn.
• Calculer
n
P
k=0
cos(kx) ou
n
P
k=0
sin(kx).
• D´erivation de Arcsin avec d´emonstration (existence sur un intervalle `a pr´eciser et formule de Arcsin0(x), avec la formule de d´erivation d’une r´eciproque).
• D´erivation de Arctan avec d´emonstration (existence sur un intervalle `a pr´eciser et formule de Arctan0(x), avec la formule de d´erivation d’une r´eciproque).
• Simplifier Arcsin (x) + Arccos (x) pour x `a pr´eciser.
• Simplifier Arctan (x) + Arctan 1
x
pourx `a pr´eciser.
L’interrogation peut porter sur l’ensemble des chapitres ´etudi´es depuis le d´ebut de l’ann´ee. Ceux apparaissant ci-dessous n’en sont que le sommet de la pile.
Chapitre 8. Calculs alg´ ebriques.
1) Signes somme et produit. Factorielle.
2) Techniques de calculs Sommes arithm´etiques :
n
P
k=0
k = n(n+ 1)
2 .
Exemples de changement d’indices, de sommes et produits t´elescopiques (principe des dominos).
3) Factorisation de an−bn= (a−b)
n−1
P
k=0
akbn−1−k. Sommes g´eom´etriques.
Exemples du cours : calculs et interpr´etation g´eom´etrique de
n
P
k=1
k, de
n
P
k=1
k2 en calculant
n
P
k=0
[(k+ 1)3−k3] de deux fa¸cons ;
n k=1
Π
1 + 1
k
Exemples fondamentaux.Calcul de
n
P
k=0
cos(kx) et de
n
P
k=0
sin(kx).
4) Coefficients binomiaux. Formule de Pascal. Formule du binˆome de Newton.
Applications `a lin´eariser (cos4(x)...), `a d´evelopper, `a reconnaˆıtre pour factoriser.
5) Exemples de sommes doubles.
Notation P
(i,j)∈A
ui,j o`u A est une partie de N2, ´ecriture avec deux indices d’une somme double dans des cas«simples» : sommation sur un rectangle deN2, un triangle.
Exemples du cours. Calcul de
n
P
i=0 n
P
j=0
2(i+j) ; de
n
P
i=0 n
P
j=0
min(i, j). Calcul de
N
P
k=0 N
P
n=k
n k
avec interversion dek etn.
6) G´en´eralisation `an termes des formules des chapitres pr´ec´edents.
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Chapitre 10. Fonctions bijectives et r´ eciproques.
1) Bijection et r´eciproque
D´efinition d’une bijection. Condition suffisante. Fonction r´eciproque, propri´et´es. Monotonie. Sym´e- trie des courbes. D´erivation ponctuelle, sur un intervalle.
Exemples du cours. Bijectivit´e de x 7−→ 1
1 +x2 ; ln et exp ; fonctions carr´e et racine carr´e sur [ 0 ;+∞[ ; cube et racine cubique surR (prolonge sur R la fonction puissance un tiers) ;x7−→xn etx7−→xn1 sur ] 0 ;+∞[.
N Les fonctions √n
·sur R− pour n impair ne sont pas au programme de PTSI. Il est cependant int´eressant d’en avoir rencontr´e comme exemple ou exercice.
2) Fonctions circulaires r´eciproques
Arcsin , Arccos , Arctan . Ensembles de d´efinition et d’arriv´ee, de d´erivabilit´e, d´eriv´ee, courbe.
Exemples du cours.Arcsin (x) + Arccos (x) = π
2 pourx∈[−1 ; 1 ].
Arctan (x) + Arctan 1
x
= π
2 pour x >0 et =−π
2 pourx <0.
