1. Résous à l’aide de la méthode Gauss-Jordan (matrice augmentée).

(1)

a) 3x y 11 1 y 2 x









 

1 1 2 1 3 1 11 2

1 2 1 0 7 14 1 3 2

1 2 1 0 1 2 2 7

1 0 5 1 2 2

0 1 2 5, 2

 

  

   

    

   

  

 

       

     

  

 

     

   

 

    

     

  

 

 b) 3x 12y 270

70 y 6 x 5











 

1 5 6 70 3 12 270 2

5 6 70 0 78 1560 1 3 2 5

5 6 70 0 1 20 2 78

5 0 50 1 2 6

0 1 20 1 0 10 1 5

0 1 20 10, 20

 

    

     

   

 

 

      

     

 

 

    

   

 

     

     

 

 

 

   

   

 

 



(2)

c)

8 z 3 y 6 x 2

1 z 5 y 5 x

3 z y 3 x













1 1 3 1 3 2 1 5 5 1 2 6 3 8 3

1 3 1 3 1 2 0 2 4 2 0 0 1 2 1 2 3

1 3 1 3 0 2 4 2 0 0 1 2 3 1

1 3 1 3 2 3 4 0 2 0 10

0 0 1 2

1 3 1 3 2 2 0 1 0 5

0 0 1 2

1 3 1 3 0 0

 

    

   

     

 

 

        

   

 

      

     

 

 

 

 

   

   

 

 

       

   

 

 

 

 

      

   

 

    

   

 

1 1 0 5 0 0 1 2

1 2 3 1 0 0 16 0 1 0 5 0 0 1 2 16, 5, 2

 

 

  

 

 

 

    

     

  

 

 



(3)

d)

11 z 5 y 2 x

10 z 10 y 3 x

3 z 6 y 6 x 3

















1 3 6 6 3 2 1 3 10 10

1 2 5 11 3

3 6 6 3 1 2 3 0 3 24 33

0 0 9 36 1 3 3

3 6 6 3 0 3 24 33 0 0 1 4 3 9

3 6 6 3 2 3 24 0 3 0 63

0 0 1 4

3 6 6 3 2 3 0 1 0 21

0 0 1 4

 

    

    

      

 

 

        

   

 

     

     

 

 

 

 

    

   

 

 

        

   

  

 

 

 

     

    

 

1 3 6 3 6 0 27 0 1 0 21 0 0 1 4

1 2 6 3 0 0 99 0 1 0 21 0 0 1 4

1 3 1 0 0 33 0 1 0 21 0 0 1 4 33, 21, 4

 

    

     

 

  

 

 

     

     

 

  

 

 

   

   

 

  

 

 

(4)

e)

10 z y 5 x

0 z 7 y 3 x

20 z

3 y 10 x 2





















1 2 10 3 20 2 1 3 7 0

1 5 1 10 3

2 10 3 20 1 2 2 0 4 11 20 0 0 1 0 1 3 2

2 10 3 20 2 3 11 0 4 0 20 0 0 1 0

2 10 3 20 2 4 0 1 0 5

0 0 1 0

1 3 3 2 10 0 0 1 0 0 0 1

 

   

   

    

       

   

 

         

   

 

    

     

   

 

        

   

 

 

   

 

     

   

 

      

   

 

20 5 0

1 2 10 2 0 0 30 0 1 0 5 0 0 1 0

1 2 1 0 0 15 0 1 0 5 0 0 1 0 15, 5, 0

 

 

 

 

    

     

 

 

 

  

   

 

 

(5)

f)

0 z 2 y

16 y x

12 z x













 

1 1 0 1 12 2 1 1 0 16 0 1 2 0 3

1 0 1 12 1 2 0 1 1 4 0 1 2 0

1 0 1 12 0 1 1 4 0 0 1 4 3 2

1 0 1 12 2 3 0 1 0 8 0 0 1 4

1 3 1 0 0 8 0 1 0 8 0 0 1 4 8, 8, 4

 

    

    

     

 

 

       

   

 

 

 

 

  

 

    

     

 

 

       

   

 

 

 

    

     

  

 

 



(6)

2. Dans une école, on retrouve 675 élèves de la dixième à la douzième année. Il y a 50 élèves de plus en dixième qu’en onzième et 25 élèves de plus en douzième qu’en onzième. Combien d’élèves retrouve-t-on dans chaque niveau ? Réponds à cette question en créant une matrice pour un système de trois équations à trois inconnus et en appliquant la méthode de la matrice augmentée.

x : nombre d’élèves en 10ê y : nombre d’élèves en 11ê z = nombre d’élèves en 12ê

x + y + z = 675 x = 50 + y z = 25 + y

x + y + z = 675 x – y = 50 -y + z = 25 1 1 1 1 675

2 1 1 0 50 0 1 1 25 3

1 1 1 675 1 2 0 2 1 625 0 1 1 25

1 1 1 675 0 2 1 625 0 0 3 675 2 3 2

1 1 1 675 0 2 1 625 0 0 1 225 3 3

1 1 1 675 2 3 0 2 0 400 0 0 1 225

2

 

    

    

      

 

 

     

      

 

 

   

     

 

 

  

   

 

 

     

   

 

 

 

1 1 1 675 2 0 1 0 200 0 0 1 225

1 3 1 1 0 450 0 1 0 200 0 0 1 225

1 2 1 0 0 250 0 1 0 200 0 0 1 225

 

 

  

  

 

 

   

     

 

 

 

   

     

 

 

Il y a 250 élèves en 10ê, 200 élèves en 11ê et 225 élèves en 12ê.

(7)

3. Résoudre avec la méthode Cramer

a) 3x y 1

x y 3

  

 

3 1 1

1 1 3

1 1 3 1

det 3 1 1 3 2 1 det 1 3 9 1 10 5

x y

3 1 4 2 3 1 4 2

3 1 3 1

det 1 1 det 1 1

1, 5 2 2

   

   

    

   

    

   

        

   

       

         

   

 

   

   

  

 

 

b) 3x 4y 1 5y 3x 2

  

  

3 4 1

3 5 2

1 4 3 1

det 2 5 5 8 3 1 det 3 2 6 3 9 1

x y

15 12 27 9 15 12 27 3

3 4 3 4

det 3 5 det 3 5

1, 1 9 3

   

   

 

   

   

    

   

  

         

   

       

     

   

   

   

  

 

 

c)

4x 8y 5 2x 5y 5

2

  

  

52

5 5

2 2

4 8 5

2 5

5 8 4 5

det 5 25 20 5 det 2 10 10 0

x y 0

20 16 4 20 16 4

4 8 4 8

det 2 5 det 2 5

5 , 0 4

    

   

   

   

     

   

       

   

      

       

   

 

   

   

 

 

 

(8)

d)

2x 3y z 11 3x y 2z 10 5x 4y z 1

  

  

2 3 1 11 3 1 2 10

5 4 1 1

    

   

    

   

11 3 1 11 3 10 1 2 10 1 1 4 1 1 4 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 5 4 1 5 4

   

 

 

 

  

  

   

 

 

 

  

 

   

11 3 1 det 10 1 2

1 4 1 11 6 40 1 30 88 72

x 2

2 30 12 5 9 16 36 2 3 1

det 3 1 2 5 4 1

  

 

  

         

 

   

         

 

  

 

2 11 1 2 11 3 10 2 3 10 5 1 1 5 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 5 4 1 5 4

 

 

  

  

   

 

 

 

  

 

   

2 11 1 det 3 10 2

5 1 1 20 110 3 50 33 4 72

y 2

2 30 12 5 9 16 36 2 3 1

det 3 1 2 5 4 1

 

 

        

 

    

         

 

  

 

2 3 11 2 3 3 1 10 3 1 5 4 1 5 4 2 3 1 2 3 3 1 2 3 1 5 4 1 5 4

   

 

 

 

  

   

 

 

 

  

 

   

2 3 11 det 3 1 10

5 4 1 2 150 132 55 9 80 36

z 1

2 30 12 5 9 16 36 2 3 1

det 3 1 2 5 4 1

  

 

  

         

 

   

         

 

  

 



^{2, 2, 1}^



(9)

e)

3x 2y 4z 7 5x 7y z 16 x y z 6

   

  

3 2 4 7

5 7 1 16

1 1 1 6

    

   

    

   

7 2 4 7 2 16 7 1 16 7

6 1 1 6 1 3 2 4 3 2 5 7 1 5 7 1 1 1 1 1

    

 

  

  

   

 

  

 

   

7 2 4 det 16 7 1

6 1 1 49 12 64 32 7 168 82 41 x 3 2 4 21 2 20 10 3 28 34 17

det 5 7 1 1 1 1

  

 

  

        

 

   

         

 

  

 

3 7 4 3 7 5 16 1 5 16 1 6 1 1 6 3 2 4 3 2 5 7 1 5 7 1 1 1 1 1

   

 

  

  

   

 

  

 

   

3 7 4 det 5 16 1

1 6 1 48 7 120 35 18 64 2 1 x 3 2 4 21 2 20 10 3 28 34 17

det 5 7 1 1 1 1

  

 

  

         

 

   

         

 

  

 

3 2 7 3 2 5 7 16 5 7 1 1 6 1 1 3 2 4 3 2 5 7 1 5 7 1 1 1 1 1

    

 

  

   

 

  

 

   

3 2 7 det 5 7 16

1 1 6 126 32 35 60 48 49 120 60 x 3 2 4 21 2 20 10 3 28 34 17

det 5 7 1 1 1 1

   

 

        

 

   

         

 

  

 

41 1, , 60 17 17 17

  

 

 