Méthode de la Matrice de Transfert

Méthode de la Matrice de Transfert

Stanley, Enumerative combinatorics vol. 2, page 241

Exercice : Soit G = (V, E) un graphe, V = {v 1 , . . . , v p } . Soit ω une fonction poids sur E tel que ∀Γ = e 1 e 2 . . . e n ∈ E ⁿ , ω(Γ) = Q ⁿ

i=1

ω(e i ) . On dénit

A ij (n) = X

Γ

ω(Γ)

pour tous les Γ chemins de longueur n entre v i et v j . On note A la matrice d'adjacence du graphe G (c'est-à-dire (A) i,j = A ij (1)).

Alors :

1. ∀n ∈ N, ∀i, j ∈ {1, . . . , p}

A ij (n) = (A ⁿ ) i,j

2.

F ij (x) = X

n≥0

A ij (n)x ⁿ = (−1) ^i+j det(I − xA : j, i) det(I − xA)

où (B : j, i) désigne la matrice B privée de L j et C i . En particulier, F ij (x) est rationnel en x de degré stritement inférieur à n 0 , muliplicité de 0 comme valeur propre de A .

3. On dénit pour tout n ∈ N

C(n) = X

Γ

ω(Γ)

pour tous les Γ chemins fermés de longueur n dans G . Alors, en notant Q(x) = det(I − xA) ,

X

n≥1

C(n)x ⁿ = − xQ ⁰ (x) Q(x)

1. C'est une application directe de la multiplication des matrices : (A ⁿ ) i,j = X

A i,i

A i

,i

. . . A i

,j

sur toutes les suites (i 1 , . . . i n−1 ) ∈ {1, . . . , p} ⁿ⁻¹ . Le terme est non nul seulement s'il existe un chemin Γ : e 1 e 2 . . . e n de v i à v j .

2. F ij (x) est l'entrée (i − j) de la matrice P

n≥0

x ⁿ A ⁿ = (I − xA) ⁻¹ . D'où, d'après la formule de la comatrice,

F ij (x) = (−1) ^i+j det(I − xA : j, i) det(I − xA) De plus,

det(I − xA) = 1 + α 1 x + . . . x p−n

x ^p−n

en notant le polynôme caractéristique de A :

χ A (x) = (−1) ^p (α p−n

x ⁿ

+ . . . + α 1 x ^p−1 + x ^p )

Donc, en tant que polynômes en x, on a deg det(I − xA) = p − n 0 et deg det(I − xA : j − i) ≤ p − 1.

D'où

deg F ij (x) ≤ p − 1 − (p − n 0 ) < n 0

3. On a C(n) = P ⁿ

i=1

A ii (n) = trA ⁿ . Soit λ 1 , . . . λ q les valeurs propres non nulles de A. Alors trA ⁿ = P q

i=1

λ ⁿ _i . D'où

X

n≥1

C(n)x ⁿ = X q

i=1

λ i x 1 − λ i x

qui est exactement la décomposition en éléments simples de − ^xQ _Q(x)

^(x) où Q(x) = (1−λ 1 x) . . . (1−λ q x)

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