ANALYSE MODALE SPECTRALE PAR MODELE MATRICE DE TRANSFERT

(1)

ANALYSE MODALE SPECTRALE PAR MODELE MATRICE DE TRANSFERT

3-1- INTRODUCTION

Dans ce chapitre nous allons développer la formulation mathématique de la méthode de l’analyse modale spectrale par modèle matrice de transfert à six degrés de libertés, en se basant sur la théorie des groupes de Lie. Ce modèle nous permettra de prendre en compte la possibilité des six déplacements pour chaque plancher y compris la torsion.

Nous avons vu que le mouvement vibratoire du bâtiment est la superposition des mouvements vibratoires découplés des 6N modes propres se comportant comme des oscillateurs simples indépendants. La méthode de calcul par « analyse modale spectrale » est recommandée par les règlements parasismiques modernes pour le calcul des bâtiments réguliers ou irréguliers soumis à des actions sismiques.

3-2- ANALYSE MODALE PAR MODELE MATRICE DE TRANSFERT

L’analyse modale est une technique très utile pour déterminer la réponse dynamique d’un système linéaire à plusieurs DDL soumis à une charge dynamique quelconque. Le système différentiel de 2x (6N) équations hexadimensionnelles du mouvement que l’on se propose de résoudre est le suivant (sans le crochet de Lie) :

M uCuKuMu_g I_N (3.1)

(2)

 ^

Ces matrices M, K, ou C ne sont pas nécessairement des matrices diagonales.

La stratégie de base de l’analyse modale consiste à introduire une transformation linéaire des variables, en utilisant la matrice modale afin de découpler les équations du mouvement.

3-2-1- Principe de l’analyse modale

Le principe de l’analyse modale est basé, dans cette étude, sur la prise en compte de six degrés de liberté significatifs (3 translations et 3 rotations).

Il s’agit d’établir un modèle mathématique qui puisse représenter les propriétés dynamiques de la structure réelle telles que les périodes naturelles de vibration et les déformés modales.

 Le plancher étant supposé infiniment rigide dans son plan, les déplacements de tous les nœuds appartenant à ce diaphragme sont égaux (translations et rotations) fig.3.1.

3-2-2- Développement de l’analyse modale hexadimensionel

Un bâtiment est représenté par un modèle hexadimensionnel dont on calcule la matrice de rigidité K et la matrice de masse M comme vue dans le chapitre 2.

La structure est modélisée comme indiqué dans la figure 3.2.

Figure 3.1: Directions des forces et déplacements

Forces fi

Déplacements ui

Rjx

Rjy

(3)

) (t u_g

 GN: Centre de gravité de l’étage N

N : Nombre d’étages

MN_:Masse totale del’étage N

JN : Moment d’inertie massique de l’étage N, caractéris- ant l’inertie du solide en rotation.

uNx,^u^Ny: Déplacements de GN

selon la direction x et y

RNx,^R^Ny: Rotations de GN

selon la direction OX et OY

Certaines de ces actions susceptibles de s'exercer sur une structure peuvent être à l’origine de sollicitations rapidement variables dans le temps. Nous dirons qu'elles présentent un caractère dynamique lorsque les déformations correspondantes sont suffisamment rapides pour que les forces d'inertie ainsi mises en jeu cessent d'être négligeables. Lorsqu’une structure se trouve soumise à une excitation de cette sorte (figure 3.3), elle effectue tout d'abord, tant que dure l'excitation, une série d'oscillations forcées, régies par des lois en général complexes ; il leur succède, des que l'excitation a pris fin, des oscillations libres qui obéissent à des lois plus simples et qui finissent par s'amortir plus ou moins rapidement.

Figure 3.2: Modèle hexadimensionnel d’un bâtiment

Figure 3.3: Accélération du sol appliquée à la base d’un bâtiment Base fixe

) (t u_g

t

Rxn

) 1 (n

Rx

2

Rx

1

Rx

uu uu

uu

1

Ry 2

Ry ) 1 (n

Ry ) (n

Ry

(4)

L’accélération absolue devient :

ûa⁽^t⁾û⁽^t⁾ûg⁽^t⁾

(3.2)

3-2-3- Détermination du vecteur (Dimensions 6N)

Supposons que la base de ce bâtiment soit soumise à un mouvement sismique horizontal s'exerçant dans une direction déterminée. Soit  l’angle de cette direction avec l’axe OX d'un repère (OXYZ) fixe suivant les codes ou recommandations parasismiques modernes, l'excitation sismique appliquée à la base des bâtiments est modélisé par un mouvement de translation tri-directionnel, et caractérisé par son amplitude û^^^g^(t⁾par rapport à ce repère fixe. Soit û^(t⁾le vecteur des déplacements relatifs des centres de gravite GN en fonction du temps, en référence à un repère mobile lié à la base du bâtiment. A tout instant, le déplacement absolu ûâ^(t⁾ des GN par rapport au repère fixe se déduit de û^(t⁾par une translation horizontale de composantes : û^^^g⁽^t^).^cos^^,û^^^g⁽^t^).^sin^ (figure3.4).

: Vecteur unitaire dans la direction considérée pour le mouvement sismique, il vient : ûâ⁽^t⁾^û⁽^t⁾^û^^^g⁽^t⁾^^

: Vecteur de dimension 6N associe à la direction et de composantes

^cos^,^sin^,⁰^,¹^,¹^,¹^;^cos^,^sin^,⁰^,¹^,¹^,¹^;...^etc dans le cas de la translation accompagnée de la rotation.

Le vecteur des forces d’inertie développée par les masses et les moments d’inertie massiques est égale à

Figure 3.4: Vecteur de direction du mouvement sismique



).

(t u M_a

X

Y _Z

 sin ).

(t u_g

 cos ).

(t u_g





).

(t u_g



(3.3)





(5)

t

j

Ces efforts d'inertie sont équilibrés par les efforts internes et ceux dus aux frottements (supposés proportionnels à la vitesse de chaque degré de libertés dans le repère mobile).

La formulation généralement utilisée pour le problème dynamique de l'action sismique est la suivante :

^M û^^⁽^t⁾^^Cû^⁽^t⁾^^K û⁽^t⁾^^^M û^^^g⁽^t⁾^^

Avec : M etK : matrice des masses et matrice de rigidité développée précédemment.

) (t

u : vecteur des déplacements relatifs.

Décomposons ^u^(t⁾ sur la base formée par les 6N vecteurs nodaux ^ du bâtiment ^



^N ^ ^

n qn t n n N

t

u( ) ⁶ ( ) ; 1 6

Soit ^ⁿles matrices colonnes des composantes des n modes propres de vibration du Système n 



nx ny nz nrxnry nr



^t

Apres multiplication par :

    ^N _n _n _g ^t_j _n

n t j n

n N

n t j n

n N

n t

jM q (t) ⁶ C q (t) ⁶ K q (t) u (t) M

6





 







 



Les 6N équations (N : nombre d’étages).

3-2-4- Propriétés d’orthogonalité des vecteurs

^ⁱ

Les modes propres dont le nombre est égal au nombre de degrés de liberté de la structure, vérifient les relations d'orthogonalité.

^^t^j^M^ⁱ ^^^t^j^C^ⁱ ^^^t^j^K^ⁱ ^⁰ ^siⁱ^ ^j

La résolution de l'équation du mouvement (équat.3.6) peut se faire par le biais de plusieurs méthodes, à savoir :

- La méthode d'intégration directe - L'analyse modale

- L'analyse par spectre de réponse (la recherche du maximum de réponse sur chacun des modes propres).

3-2-4-1- Méthode de superposition modale

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(6)

La méthode de superposition modale est une méthode de calcul dynamique permettant de transformer un système d'équations différentielles en un système d'équations différentielles non couplées, dans lequel chaque équation contient seulement une variable indépendante. A partir de la solution non triviale, on peut obtenir 6N couples de valeurs et de vecteurs propres.

Les modes propres non amortis sont les modes de déformation de la structure qui, en l'absence d'amortissement et de toute force excitatrice, correspondent à des efforts internes qui équilibrent exactement les forces d'inertie associées à une variation sinusoïdale dans le temps de cette déformation.

-Oscillation libre ^c^⁰ ^;û^^^g⁽^t⁾^⁰ ^ ^M û^^⁽^t⁾^^Kû⁽^t⁾^⁰

Et on trouve ^u⁽^t⁾^



_n ^ⁿ^ⁿ^sin(^ⁿ ^t^^ⁿ⁾_,n^,n ^: dépendent des conditions initiales du problème.

La double dérivation devient : ^u^^⁽^t⁾^^



_n ^ⁿ^ⁿ^ⁿ^sin(^ⁿ ^t^^ⁿ⁾^^^ⁿ² ^u⁽^t⁾

Remplaçons ^u^^⁽^t^),^u⁽^t⁾par leurs valeurs, il vient :

M



^n²un⁽t⁾



^Kun⁽t⁾^⁰^M



^n² qn⁽t⁾n



^K qn⁽t⁾n ^⁰

Avec : L’intégrale de Duhamel

Cette valeur doit être vérifiée : qn⁽t⁾^⁰^



K ^n²M



n ^⁰

Une solution différente de zéro n’est possible que si le déterminant de la matrice ^det



^K^n² ^M



^⁰

On obtient une équation de degré (n=6DDL*nombre des étages) en ω² qui nous donne les valeurs propres, relatives aux 6N modes de vibrations possibles. Les vecteurs propres sont ensuite calculés.

3-2-4-2- Amortissement critique

L'amortissement est défini par ce coefficient que l'on suppose en général identique pour tous les modes. Par cette méthode, on peut donc construire une matrice d'amortissement qui permet le découplement des modes, et de choisir pour chaque mode un amortissement donné en posant :



(3.8)

(3.9)

) (t q_n

(7)

n

Tn





 2 ,

n n

n M

 K

2 ,

n n

n

n M

C

 

 2

On voit que l’étude d’un oscillateur multiple peut se ramener à l’étude de n oscillateurs simples (avec 6 degrés de liberté) (figure 3.5).

Le mouvement vibratoire du bâtiment est donc la superposition des mouvements vibratoires découplés des 6 N modes propres du bâtiment.

On ne calcul toutefois que le nombre de coordonnées ^qⁿpour obtenir la précision souhaitée, la superposition d’un nombre réduit de modes suffisant en général pour représenter correctement le mouvement.

n t n

t n g n

n n

n

n M

M t t u

q t

q  



 



 ( ) ^

) ( )

( 2

)

( ² 



   

Il vient : ^q ⁽^t⁾ ² ^q⁽^t⁾ ²^q ⁽^t⁾ _M^L ^u^g⁽^t⁾

n n n

n n

n

n  

     

Posons : ⁶ .



1



 ^N

n

n n

n M

L  _ Masse modale ⁶ .

1



2



 ^N

n

n n

n M 

La solution de l’équation différentielle est donnée par la superposition des impulsions données par l’intégrale de Duhamel. ^q⁽^t⁾^^Y⁽^t⁾

1 ( )exp

  

sin



( )

 

. )

( 0       

 ^u ^t ^t ^d

t L

Y ^t _g _n _n _n

n n n

n   







^^

La réponse de chaque DDL, le déplacement, s’obtient par : ^uⁿ⁽^t⁾^^Yⁿ⁽^t⁾^ⁿ ^,ⁿ^¹^,²^,...^..⁶^N Avec : 6N représentant le nombre de modes considéré dans cette étude.

Figure 3.5: Superposition des mouvements vibratoires découplés des 6N modes propres

1 6 N



n n6 N 1

2 12 N

 n

1 N

2 N

3 N

6 n

12 n

18 n

1 N

2 N

3 N

Nn

N 

6 n

12 n

18 n

N n6

(3.10) (3.11)

(3.12)

(8)

Il vient : ⁽ ⁾ ₀ ⁽⁾^exp



 







^sin



 ⁽ ⁾







^.



 u t t d

t L

u ^t _g _n _n _n

n n n n

n   







^

On voit que l’on retrouve (l’équation général), à condition de poser :

, μφ=0 et 1.

On superpose les réponses modales pour obtenir la réponse de chaque DDL : ⁶ ^.



1





 ^N

n

n nM

M_ 

Avec :

n n n

L



 ; n : nombre de mode (n=6DDL*nombre des étages)

est appelé « facteur de participation modale du mode n », il fixe l’importance de la participation de déforme ^ⁿmodale en fonction de la distribution des masses dans la structure; ce coefficient peut être positif ou négative ; sa valeur en module, comparée aux des autres modes donne une idée de l’importance relative de la contribution des différente modes à la configuration déformée de la structure.

La quantité du mode n selon la direction et caractérise la réponse du mode n à une excitation extérieure de direction .

La sélection des modes est opérée systématiquement par l’évaluation des masses modales dans les six directions.

La masse modale du mode n pour la direction selon les 6DDL est :

   













 M

M L

n n n

N n

2 2 '

Avec :





 ^N

n N n

n M

L ⁶

1



 ;











 rotat

N

n

n N N

trans N

n

n N N

n

n N

n



M



M r



M







 ³

1 2 3 2

1 6 2

1

2  



Masse totale de bâtiment ; : rayon de giration pour chaque plancher (N).

^ⁿ Compose 3DDL en translations et 3DDL en rotations.

Cette expression exprime la masse modale du mode n pour la direction . On veut que la somme des masses modales de tous les modes pour une direction donnée, soit égale à

) ( )

( ² ²

1 1

t u M

M M t

P _g

n n

eff 

 



























) (

n 





^M :



(3.15)

(3.16) (3.13)

(3.14)

n:



n



rN

(9)

la masse totale :



^ ^





N

n n N

n

n M

6 1

'

Si les , sont normés par rapport aux masses, Mn = 1.

3-2-4-3- Masses modales de torsion

Un séisme excitera généralement aussi les composantes de torsion de chacun des modes propres, pour lesquels nous définirons :

Avec :

; Mode propre de torsion et vecteur de direction du DDL en torsion, = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1,0, 0, 0 ...).

Moments d’inertie totale de la structure autour de l’axe verticale.

La somme des moments d'inertie, massiques modaux de l'ensemble des modes est égale au moment d'inertie massique total du bâtiment (c'est-a-dire à la somme des inerties massiques de tous les étages).

3-3- ANALYSE SISMIQUE PAR MODELE MATRICE DE TRANSFERT

Il convient d’analyser une structure sous les deux composantes horizontales orthògonales d’un séisme agissant suivant les directions principales de celle-ci.

Le spectre de réponse est une courbe de réponse maximale en termes de déplacements , de vitesses et d’accélérations , pour un système à un seul degré de liberté soumis à une excitation donnée pour des valeurs successives de fréquences propres.

Dans cette étude il sera pris en compte un système à six degrés de liberté.

3-3-1- Utilisation des spectres

n





 ^N

n

zn z n

n M r

L ⁶

1



   r_z_zn ,_ :





^I^ :

Dn

An

Vn

(3.17)

n n n

L

 

_ ^

   





 











 

 I

M L

n n n

n n

2 2 '

(10)

n st n

n r A

r₀ 

) , ( _n _n

n T

A 

) , 2 , 1

0(n N

r_n   r0 ^max_t r⁽t⁾



 ^N r_n r₀ ₀

0

rn st

rn

0

rn

La méthode par spectre de réponse est la plus couramment utilisée pour le calcul dynamique des structures. Elle nécessite la connaissance du spectre de réponse de la secousse sismique, et constitue la base des règlements parasismiques algériens (RPA 99).

Cette méthode consiste à la recherche du maximum de réponse sur chacun des modes propres. A ce stade, pour chaque paramètre de dimensions hexadimensionnelle

et paramètre de contrôle . Les valeurs retenues est le maximums (puisque déterminer à partir de spectre de réponse).

3-3-2- Calcul des réponses modales maximales

Le spectre de réponse en accélération An fournit la réponse maximale d’oscillateurs linéaires élastiques soumis à un séisme. Cette réponse se calcule simplement pour un oscillateur linéaire de masse M, de raideur K et d’amortissement C, dont le déplacement relatif par rapport à son support soumis à une excitation sismique est représentée par son accélérogramme.

On a pour un paramètre de réponse maximale quelconque : Avec :

: réponse spectrale en accélération correspondante de periode Tn et taux d’amortissement ξn

: valeur maximale de réponse pour chaque mode (n)

: réponse modale statique pour chaque mode (n)

3-4- COMBINAISON MODALE (r

0

)

Pour déterminer la réponse maximale du DDL, , on doit recourir à une combinaison statistique des reponses modales maximales pour estimer la réponse maximale de chaque DDL.

La réponse modale maximum combiner ,il vient : L’indice max désigne la valeur maximum de la réponse dans le temps.

Les différentes combinaisons les plus utilisées sont décrites :

La combinaison modale dans le cas où un mode est prépondérant par rapport aux autres :

t fz fy fx y

x T M M M

T

N, , , , , )

( (_x,_y,_z,u_x,u_y,u_z)^t

(3.18)

(3.19)

(11)

2 / 1

1 2

0

0 



 







 N

n

rn

r

2 / 2 1

max ) (

0 2

max ) 3 (

0 2

max ) 2 (

0 2

max ) 1 (

0

0  n  n  n  n^N 

n r r r r

r 

2 / 1

1 1

0 0

0 



 







 

N

i N

n

n i inr r

r 

n i in in

n i n

i  et     

   ,0 1;  /

in in

in

in   



 ² ₂ ²₂ 4 ) 1 (

) 1 (





 

 



²

 

² ²



²

2 2

3 / 2

4 1

4 ) 1 (

8

in n i in in j i in

in n in i n i

in       









 





 

 

max )

(

max 0 ( ) .sin ( )

)

(t u  e ^ ^ w t  d

Y_n  ^t^^_g ^ ⁿ^wⁿ ^t^ _n 

La combinaison modale développe par E.Rosenblueth’s (SRSS) :

Une combinaison très souvent employée est celle de la racine carrée de la somme des carrée. Elle a été proposée dans des analyses de bâtiment en deux dimensions ; ainsi, les fréquences naturelles latérales ne sont pas rapprochées. Pour la réponse du DDL (n) :

Dans le cas où un système possède des fréquences très rapprochées, la combinaison quadratique complète CQC, donne une meilleure estimation.

Si , on obtenue Le coefficient de couplage (Der Kiureghian) est donnée par :

3-5- SOLLICITATIONS MAXIMALES

Le spectre de réponse du déplacement relatif est défini comme suit et correspond au maximum du déplacement :

Avec :

: deplacement maximum.

: facteur de participation modale

Pour un oscillateur amortis, une approximation sera faite. La vitesse spectrale Vn est une valeur proche de

Cette vitesse est obtenue :

max

max ( )

) ( )

( u t Y t

D _n

n n n

n

n   ^

(3.22)

(3.23) (3.20)

(3.21)

n n n

L

 



)max

(t u V_n  _g

(12)

→ →

Il y a lieu noter que :

→ →

Pour un oscillateur multiple, considérons la (n)ième compsante de Dn (n : représente le mode)

Comme on l’a vu déjà, la réponse en coordonnées réelles prend la forme de l’équation suivante :

: La réponse de chaque DDL

Avec : 6N représentant le nombre de modes considèré dans l’analyse (6ddl à chaque plancher).

Il est important de noter que représente la contribution du mode n à la réponse du DDL (n). On peut déterminer la réponse maximale de cette contribution modale :

Où : représente le spectre de déplacement correspondant au mode (n), c’est-à-dire pour la fréquence naturelle et le taux d’amortissement .

Les forces latérales maximales (forces statiques équivalentes) appliquées aux nœuds dans et correspondant à chaque mode (n), s’écrivent alors de la façon suivante :

Avec :

,

3-5-1- Efforts tranchants et moments à la base maximum

Le cisaillement maximum à la base pris en compte (trois efforts et trois moments) dans le mode (n) peut s’écrire ainsi :

69 U-D-2011 | PG-GC

2 2

2 1 2

1

n

n kD

g V W  

 



 ₂ ₂ ₂

2 1 2

1

n

n D

g V W

g

W 

 



 



 



  V_n  D_n

n

n kD

MA  _n kV_n

MA ^  ^Aⁿ ²^Dⁿ



_n _n



_n _n _n _n

n D

D  ,  ( ) A_n



_n,_n



_n²_nD_n(_n)_n

  





 ^N

n n n

n t Y t

u t

Y t

u ⁶

1

) ( )

( ))

( ( )

(  

max

un

n n n n

n

n Y D

u  _max 

Dn

n n 

 ,









 



 

 spectredaccélé

n n N n n dépla

de spectre

n n n N n n n n

n s A Ku M D f M A

f

'

2  

   



) , ( _n _n

n D T

D   D_n  A_n/_n²



 























: , :

,

6 ' 6

6 ' 1 '

h A

M h s

h A

h M

f A

V

N N

n N

n n n

n bn



(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)



(13)

 





 







 



 



 



 



 



 







 



 



 



 







 



 







 



 



 



 



 





s T T

T R A Q

s T T T

T R A Q

T T R T

A Q

T R T

Q T A T

g A

_n

0. 3 3 ) 3

25 .1 ( 5.

2

0. 3 )

25 .1 ( 5.

2 ) 25 .1 ( 5.

2 0 1

5. 2 1 25 .1

/

3/

3/ 5 2 2

2 3/

2 2

2 1

1 1



Représente la masse modale pour le mode (n) Hauteur effective

3-5-2- Réponse spectrale selon le règlement parasismique algérien (RPA 99 VERSION 2003)

Dans l’analyse spectrale, les forces spectrales concernant le (n)ième vecteur de mode propre sont :

L’analyse sismique nécessite la définition du spectre de réponse, et qui est suivant le Règlement Parasismique Algérien RPA 99 version 2003 :

Avec :

: Coefficient d’accélération de zone : Facteur de correction d’amortissement ;

: Pourcentage d’amortissement critique

: Coefficient de comportement de la structure

: Périodes caractéristiques associées à la catégorie de site

: Facteur de qualité

3-6- CONCLUSION

La méthode de l’analyse modale spectrale est utilisée pour la résolution du système différentielle et la détermination des six composants du mouvement ainsi que les sollicitations correspondantes. Le but principal de cette étude étant donnée la réponse (3.28)

(3.29)

(3.30)

n n n a n

n S M

f  ( , ) 

A

 ^^ ⁷^/²^^ ^⁰^.⁷

 R

2 1,T T

Q

(14)

maximale pour dimensionner les bâtiments. Dans l’analyse modale, on recherche un nombre de modes de vibration tel qu’on restitue :

- 90% de la masse vibrante dans le sens (OX).

- 90% de la masse vibrante dans le sens (OY).

- 90% du moment d’inertie massique total en flexion dans le sens (OX).

- 90% du moment d’inertie massique total en torsion.

L'analyse sismique spectrale constitue un outil puissant pour estimer la réponse dynamique maximum de de toute structure linéaire avec masse concentrée soumise à un chargement sismique quelconque représenté par son spectre de réponse sismique élastique. On résume ci-dessous les étapes à suivre lors d'une analyse sismique spectrale :

- Choix des DDL et calcul des matrices de masse et de rigidité.

- Choix du spectre de réponse sismique .

- Calcul des fréquences naturelles et des modes de vibration.

- Calcul des masses généralisées.

- Calcul des facteurs de participation modale suivant les directions (x, y, z) et autour des axes (ox, oy, oz)

- Calcul des coefficients de masse modale participant suivant les directions (x, y, z) et autour des axes (ox, oy, oz)

- Calcul des réponses spectrales (On calcule le spectre de déplacements pour chaque mode correspondant à wi et ξi).

- Calcul des réponses modales spectrales maximales (On calcul la réponse maximale de chaque DDL dans chaque mode).

- Estimation des réponses maximales par combinaison statistiques des réponses modales maximales .

La méthode modale spectrale permet de calculer les forces spectrales correspondants à chacun des modes étudiés.

Pour déterminer la réponse maximale du DDL, uimax on ne peut pas additionner directement les réponses modales maximales. Ces valeurs maximales ne se produisent pas au méme temps et leur addition donne des résultats trés sécuritaires. En pratique, on

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doit recourir à une combinaison statistique des réponses modales maximales pour estimer la réponse maximale de chaque DDL. Les différentes combinaisons les plus utilisées sont décrites briévement. On zut en conclure qu’une combinaison trés souvent employee est celle de la racine carrée de la somme des carrée (Square Root of Sum of Squares ou SRSS en anglais). La combinaison quadratique complete (CQC) est utilisée dans le cas où un systéme posséde des fréquences trés rapprochées. La combinaison quadratique compléte (en anglais, Complete Quadratic Combination ou CQC), proposee par E.L. Wilson, A. DerKiureghian et E.P. Bayo (1981), donne une meilleure estimation.