HAL Id: jpa-00220655
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00220655
Submitted on 1 Jan 1981
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
SUR LA RÉPONSE SPECTRALE DE CERTAINES
SURFACES TEXTURÉES
A. Wirgin
To cite this version:
JOURNAL DE PHYSIQUE
CoZZoque CI, suppZément au nO1, T o m 42, janvier 1981 page Cl-57
SUR LA RÉPONSE SPECTRALE DE CERTAINES SURFACES TEXTUREES
A. Wirgin
C.N.R.S., 103 r u e du D e s s o u s d e s B e r g e s , 75013 P a r i s , France
Résumé.- Un modèle t r è s s i m p l e , d é r i v a n t du p r i n c i o e d'Huyghens- F r e s n e l , de l ' a c t i o n d ' u n e onde s u r une s u r f a c e t e x t u r é e à c a r a c - t è r e p é r i o d i q u e , e s t m i s à l ' é p r e u v e d ' u n e comparaison a v e c l a t h é o r i e é l e c t r o m a g n é t i q u e q u a s i - r i g o u r e u s e de Rayleigh. Comme c e modèle ne t i e n t p a s compte d e s r é f l e x i o n s m u l t i p l e s , il c o n d u i t , d ' u n e p a r t , à une v i o l a t i o n s y s t é m a t i q u e de l a r e l a t i o n de con- s e r v a t i c m d ' é n e r g i e , e t , d ' a u t r e p a r t , à une mauvaise avproxima- t i o n d e s phénomènes e n p r é s e n c e pour t o u t e s s a u f l e s t e x t u r e s l e s moins a c c u s é e s . T o u t e f o i s , c e modèle e s t u t i l e e n c e s e n s q u ' i l
i n d i q u e l a p o s s i b i l i t é que se p r o d u s s e un i n t é r e s s a n t e f f e t d e s é l e c t i v i t é p o u r d e s r é s e a u x d o n t l e p a s e s t i n f é r i e u r à l a lon- gueur d'onde minimale Amin du s p e c t r e s o l a i r e .
Une c o r r e c t i o n a s s e z s i m p l e p e u t ê t r e a o p l i ~ u é e a u modèle pour q u ' i l o b é i s s e aux c o n t r a i n t e s é n e r g é t i q u e s e t t i e n n e compte d e s i n t e r a c t i o n s m u l t i ~ l e s e n t r e l e chamn lumineux e t l e r e l i e f de l a s u r f a c e de c a o t a t i o n . Ce nouveau modèle d é c r i t , b i e n mieux que l e p r é c é d e n t , l e s e f f e t s e n p r é s e n c e , mais s e u l e m e n t pour d e s r é - s e a u x ( d e p a s d i n f é r i e u r à Ami ) d o n t l e r a p p o r t de l a h a u t e u r b d e s s i l l o n s s u r l e p a s n ' e x c e a e p a s e n v i r o n 0,5. Néanmoins, il
f o u r n i t l e s i n d i c a t i o n s s e l o n l e s q u e l l e s l a s é l e c t i v i t é p e u t ê t r e rendue i n d é p e n d a n t e de d l e t une b a i s s e d e r é f l e c t i v i t é , accom- paqnée p a r un a c c r o i s s e m e n t de l a longueur d ' o n d e de coupure, o b t e n u s p a r une augmentation de b.
I l e s t p r o b a b l e a u e l e s m e i l l e u r s e f f e t s s e , n r o d u i r o n t ?Our d e s r é s e a u x à p e n t e ( s b/d) t r è s a c c u s é e , mais comme l e u r a c t i o n s u r l e rayonnement s o l a i r e échappe aux d e s c r i p t i o n s s i m o l e s e x i s t a n - t e s , il e s t n é c e s s a i r e d e n o u r s u i v r e l e s r e c h e r c h e s t h é o r i ~ u e s . A b s t r a c t .
-
A v e r y s i m p l e model,de ri vin^
from t h e Huyghens-Fres- ne1 p r i n c i p l e , o f t h e a c t i o n o f a wave upon a rough ~ e r i o d i c s u r - f a c e , i s e v a l u a t e d by comparison w i t h R a y l e i g h ' s q u a s i - r i g o r o u s e l e c t r o m a g n e t i c t h e o r y . A s t h e model d o e s n o t a c c o u n t f o r m u l t i - p l e r e f l e c t i o n s , i t l e a d s b o t h t o e n e r g y c o n s e r v a t i o n v i o l a t i o n s and t o o o o r a ~ ~ r o x i m a t i o n s o f t h e phenomena i n p r e s e n c e f o r a l 1 b u t t h e most g e n t l e r o u g h n e s s e s . Hobrever, t h e model i s u s e f u l i n t h e s e n s e t h a t i t i n d i c a t e s t h e p o s s i h i l i t ! y o f an i n t e r e s t i n g wavelength d i s c r i m i n a t i o n e f f e c t f o r g r a t i n g s whose p e r i o d i sl e s s t h a n t h e minimal wavelength Amin. o f t h e s o l a r snectrurn.
A r a t h e r sim-le c o r r e c t i o n c a n be a ~ p l i e d t o t h e model i n o r d e r t h a t e n e r g y c o n s t r a i n t s be s a t i s f i e d and m u l t i p l e i n t e r a c t i o n s between t h e l i g h t and t h e s u r f a c e r e l i e f be t a k e n i n t o a c c o u n t . The new model g i v e s a b e t t e r d e s c r i r > t i o n , t h a n t h e p r e c e d i n g one, of t h e phenomena t h a t a r e p r e s e n t , b u t o n l y f o r g r a t i n g s (whose p e r i o d d i s s m a l l e r t h a n A m . n ) w i t h a groove h e i g h t b t o p e r i o d r a t i o t h a t does n o t exceed &pnroximately 0 . 5 . N e v e r t h e l e s s , it
f u r n i s h e s t h e i n d i c a t i o n t h a t t h e wavelength d i s c r i m i n a t i o n e f - f e c t c a n b e r e n d e r e d i n d e p e n d e n t o f d l and t h a t a lovlering of
JOURNAL DE PHYSIQUE
t h e r e f l e c t i v i t y w i t h an accompanying s h i f t o f t h e c u t o f f wave- l e n g h t t o h i g h e r v a l u e s can be o h t a i n e d b17 i n c r e a s i n g b.
I t i s p r o b a b l e t h a t t h e b e s t e f f e c t s a r e oroduced b!7 g r a t i n g s w i t h l a r g e s u r f a c e s l o p e s (IT b / d ) , b u t a s t h e i r a c t i o n unon so- l a r r a d i a t i o n c a n n o t b e d e s c r i b e d by e x i s t i n g s i m p l e n o d e l s , i t w i l l n e c e s s a r y t o p u r s u e r e s e a r c h on t h e theor!?.
1. I n t r o d u c t i o n . - On s a i t , d e n u i s l e s n r e m i e r s t r a v a u x de Rayleigh /1/
e n 1896, que l e f a i t d ' i n t r o d u i r e une d é f o r m a t i o n géométrinue de s u r f a - c e ( t e x t u r e ) de t y p e p é r i o d i a u e ou même désordonnée, n e u t e n g e n d r e r une b a i s s e d e l a P é f l e c t i v i t é d ' u n o b s t a c l e i n i t i a l e m e n t n l a n , i n t e r p o s é s u r l a t r a j e c t o i r e d'une onde s o n o r e ou é l e c t r o m a g n é t i n u e . C e t e f f e t a é t é e x p l o i t é a v e c s u c c è s dans l a c o n c e p t i o n de chambres s o u r d e s (ané- c h o ï q u e s ) /2,3/ ; p l u s récemment on a p r o o o s é /4-13/ de l ' u t i l i s e r nour a m é l i o r e r l e rendement d e c o l l e c t i o n de c a p t e u r s s o l a i r e s .
Dans c e c o n t e x t e , l e b u t e s t de diminuer l a r é f l e c t i v i t é de l a s u r f a c e de c a p t a t i o n v i s - à - v i s d e s r a d i a t i o n s cornnosant l e s p e c t r e so- l a i r e ( r a n p e l o n s que l e v l u s g r o s de c e ravonnement s e s i t u e , a u s o l e n t r e Amin = 0 , 3 ~ e t Amin = 1,9u
,
e t e s t n o n - n o l a r i s é ) s a n s nue, v a r l ' i n t r o d u c t i o n d e s r u g o s i t é s s u r l a s u r f a c e , l ' o n augmente l e rayonne- ment i n f r a r o u g e n r o v e n a n t d e l ' é c h a u f f e m e n t du m a t é r i a u du s u b s t r a t . I d é a l e m e n t , l a r é n o n s e s n e c t r a l e du c o l l e c t e u r d e v r a i t ê t r e l a f o n c t i o n é c h e l o n E(X-
A c ) : é g a l e à O pour A < Xc e t à 1 nour X > A c , avecA c l a l o n g u e u r d ' o n d e de counure c h o i s i e e n f o n c t i o n de l a ,empérature de fonctionnement du c a o t e u r / 1 4 / .
S i l ' o n s a i t m a i n t e n a n t a u ' i l e s t ~ o s s i h l e de f a b r i a u e r , s a n s grande d i f f i c u l t é , d e s s t r u c t u r e s a v a n t une x é q o n s e s n e c t r a l e a s s e z proche de E ( A
-
A c ) , il ne semble p a s vue l ' o n s a c h e v r a i m e n t pourquoi e l l e s a g i s s e n t a i n s i , n i comment il f a u d r a i t m o d i f i e r l a t e x t u r e nour o p t i m i s e r l ' e f f e t de s é l e c t i v i t é . Les t e x t u r e s F u i o n t v u l e j o u r , sou- v e n t a p p e l é e s s t r u c t u r e s à d e n d r i t e s , o n t un a s p e c t c u i va d ' u n t a o i s d ' a i g u i l l e s p l u s ou moins roches les unes d e s a u t r e s / 7 / , j u s n u ' à une s t r u c t u r e de pyramides p l u s ou moins é v a s é e s e t e n c h e v ê t r é e s /5,8,9/. C e t t e d i v e r s i t é s u g g è r e yue l a s é l e c t i v i t é dénend n e u t - ê t r e moins d e l as e a u s i n u s o ï d a l ( s t r u c t u r e à deux dimensions) ayyant f a i t 1 'ob j e t d e s ~ r e m i è r e s r e c h e r c h e s s u r l a s é l e c t i v i t é d e s s u r f a c e s d e Rayleigh /1/. I l y a t o u t l i e u d e s ' i n t e r r o g e r a u s s i s u r l e modèle d ' i n t e r a c - t i o n o n d e - o b s t a c l e q u i c o n v i e n t à l ' é t u d e théoriciue du wroblème. S ' i l e s t v r a i que l e modèle de r u g o s i t é que nous avons c h o i s i s i m a l i f i e an- p r é c i a b l e m e n t l e s c a l c u l s , du f a i t q u ' i l e s t b i - d i m e n s i o n n e l , il l e f e - r a pour t o u s l e s modèles d ' i n t e r a c t i o n . I l f a u t donc c h o i s i r , comme tou- j o u r s , e n t r e l e s t h é o r i e s l o u r d e s , mais r i g o u r e u s e s e t c e l l e s q l u s 1é- g è r e s , mais a p p r o c h é e s . D e s exemples de c a l c u l a v e c d e s modèles l o u r d s o n t d é j a é t é p u b l i é s / i l - 1 3 / , e t pour i n t é r e s s a n t s a u ' i l s s o i e n t , ne nous s e m b l e n t p a s a p p o r t e r de nouveaux é l é m e n t s d é c i s i f s d e comnréhen- s i o n d e s e f f e t s de s é l e c t i v i t é . A u s s i , il mannue dans c e s p u b l i c a t i o n s , comme dans d ' a u t r e s /1,15-22/ t r a i t a n t d e s oroblèmes s i m i l a i r e s , une méthode e f f i c a c e pour v é r i f i e r l a v a l i d i t é d e s c a l c u l s .
Parmi l e s modèles p l u s l é g e r s , il c o n v i e n t d e c i t e r d ' a b o r d ce- l u i q u i est l e p l u s r é c e n t /23,24/, e t q u i a permis à Y a y s t r e e t P e t i t e t à H u t l e y e t Maystre d e d é c o u v r i r d e s e f f e t s d ' a b s o r n t i o n auasi-brews- t e r i e n s t r è s i n a t t e n d u s e t t r è s remarquables. H a i s , comme c e s "anoma- l i e s " r é s u l t e n t d ' u n e f f e t de r é s o n n a n c e , e l l e s s o n t n é c e s s a i r e m e n t à
f a i b l e l a r g e u r de bande e t donc d i f f i c i l e s à e x p l o i t e r n o u r l a mise e n o e u v r e de f i l t r e s pour l a c o l l e c t i o n du rayonnement s o l a i r e . Nous savons a u s s i qu'une r e l a t i o n t h é o r i q u e t r è s s i m n l e /25,26/, nermet de a r é v o i r l e s l o n g u e u r s d ' o n d e d ' a b s o r n t i o n (anormale) d e l a l u m i è r e n a r d e s n l a s - mons d e s u r f a c e . Ces e f f e t s de résonnance s e m b l e n t s e p r o d u i r e d a n s une p l u s l a r g e bande que l e s p r é c é d e n t s , mais il nous n a r a l t c l a i r , d a n s un c a s comme dans l ' a u t r e , q u ' i l s e r a i t d i f f i c i l e de m o d é l i s e r l ' a c t i o n d ' u n f i l t r e à l a r g e bande uniquement e n j u x t a o o s a n t une s é r i e d ' e f f e t s r é s o n n a n t s .
On l o u r r a i t i m i t e r Hagglund e t S e l l b e r g , /21/, o u i o n t é t é l e s p r e m i e r s à é t u d i e r dans l e d é t a i l l a r é p o n s e s p e c t r a l e g l o b a l e d ' u n r é s e a u a b s o r p t i f , e t , e n l a r t i c u l i e r l e s a n o n a l i e s dues à l ' a b s o r o t i o n p a r l e s plasmons, e n empruntant à Rayleigh s a t h é o r i e d e s r é s e a u x /1,
27/. C e l l e - c i n ' e s t n a s g é n é r a l e m e n t r i g o u r e u s e , mais permet d ' o b t e n i r une bonne i d é e d e s phénomènes e n n r é s e n c e du n r i x d ' u n e f f o r t de c a l c u l r e l a t i v e m e n t modeste. C ' e s t c e t t e v o i e a u e nous a l l o n s s u i v r e i c i , non p o u r c h e r c h e r une compréhension d i r e c t e d e s e f f e t s de s é l e c t i v i t é , mais o o u r v é r i f i e r l a v a l i d i t é d ' u n modèle t h é o r i q u e l é p e r nue nous a l l o n s t i r e r de l a t h é o r i e de Rayleiqh elle-mêne au moven d ' u n e s é r i e d ' a a n r o - x i m a t i o n s .
JOURNAL DE PHYSIQUE
nous nous sommes donnés l e modèle d ' i n t e r a c t i o n l e wlus s i m n l e e t avons e n s u i t e c h e r c h é à d é t e r m i n e r s u r cruelle c l a s s e de s u r f a c e s s i n u s o l d a l e s
il p o u v a i t s ' a p p l i q u e r , t o u t e n nous i n t e r r o g e a n t s i l e s membres de c e t - t e c l a s s e p r o d u i s a i e n t l ' e f f e t de s é l e c t i v i t é r e c h e r c h é .
Le modèle d ' i n t e r a c t i o n l e p l u s s i m l l e e s t c e l u i n u i s e t r o u v e dans t o u s l e s manuels d ' o p t i q u e /28-30/ e t q u i a nom de p r i n c i p e d'Huy- ghens-Fresnel (PHF). I l e s t i n t é r e s s a n t de n o t e r nue, b i e n nue l e PHF s o i t employé t r è s couramment, de g r a n d e s i n c e r t i t u d e s e x i s t e n t concer- n a n t l e s h y l o t h è s e s q u i l e f o n d e n t . A u s s i , il e s t c e r t a i n que l e domai- ne d ' a p o l i c a b i l i t é du PHF e s t l i m i t é , m a i s les l i m i t e s de c e domaine s o n t t r è s mal connues. En nous o b l i g e a n t à r e b h e r c h e r t o u t e s l e s annro- x i m a t i o n s q u i p e r m e t t e n t de p a s s e r d e s érruations de rlaxwell j u s u u ' à 1'
e x p r e s s i o n mathématiaue du PHF, nous e s n é r o n s n o u v o i r mieux c e r n e r Ces l i m i t e s . Cela s ' a v é r e r a u t i l e nour é v a l u e r l e s r é s u l t a t s du PHF e t n o u r comprendre l e s t r a i t s fondamentaux du mécanisme d e l a s é l e c t i v i t é q u i
s ' e n dégagent.
l e m i l i e u M~ q u ' e s t l e m é t a l e n d e s s o u s de c e t t e s u r f a c e ) e t d ' i n d i c e s i n f é r i e u r s i e t d pour s i g n i f i e r un chamn i n c i d e n t ou d i f f r a c t é (un chamv t o t a l s e r a dénourvu d ' i n d i c e i n f é r i e u r ) . u r e n r é s e n t e l a compo- s a n t e s u i v a n t z du champ é l e c t r i q u e d a n s l e cas E e t du champ magnéti- que dans l e c a s H, e t ne dépend que d e x e t Y du f a i t d e l a s y m é t r i e c y l i n d r i q u e de l a c o n f i g u r a t i o n o n d e - o b s t a c l e .
La f o n c t i o n d ' o n d e i n c i d e n t e e s t donnée n a r : 1
ui (x,y) = ex9 i k ( s i x
-
ciy) (1)où si = s i n Bi
,
ci = COS Bi,
e t 6 . e s t l ' a n c l e d ' i n c i d e n c e (Pig. 1)..1 k 3 d é s i g n e l e nombre d ' o n d e s dans MI e t : k3 = N32a/X X = 2~rv/w = l o n g u e u r d ' o n d e dans l e v i d e N' = i n d i c e de r é f r a c t i o n com?lexe du m i l i e u Pj! ( = 1 pour j = l ) v = v i t e s s e d e l a l u m i è r e d a n s l e v i d e . i
Chaque m i l i e u e s t c a r a c t é r i s é Dar les t r o i s s c a l a i r e s ~ j , p. e t o j , qui r e p r é s e n t e n t l e s c a p a c i t é s i n d u c t i v e s é l e c t r i ~ u e s e t magnétiaues e t l a c o n d u c t i v i t é é l e c t r i q u e r e s ? e c t i v e m e n t . On s u n n o s e r a :
a'
= O\
E l = E c a p a c i t é s i n d u c t i v e s du v i d e Il1"
I-iO < a 2 < m
En g é n é r a l , on a : N' = N!+
iN! k = 2n/X Z = ( V / E ) '12 = 376,6 ohm = imyédance d u v i d e . K I = E ~ / E e t K: =u5/v
d é s i g n e n t l a c o n s t a n t e d i é l e c t r i q u e e t l a Fer- e m é a b i l i t é r e s p e c t i v e m e n t de 1.1~.JOURNAL DE PHYSIQUE CO 1 Ud ( x r y ) =
x
R n exg i k 1( S n 1x+
Cnv) 1 n=-m m 2 2 ud (x.y) =x
T n ex? i k 2 (S: x-
C 77) n=-m n-. a v e cToutes l e s ondes d a n s ( 6 ) s o n t inhomogènes du f a i t que k2 e s t comnlexe.
1
Les ondes dans ( 5 ) nour l e s q u e l l e s 1s
1
> 1 s o n t inhomogènes a u s s i . Les1
ondes d a n s ( 5 ) pour l e s q u e l l e s
/
snl < 1 d é f i n i s s e n t l'ensemble?( d e s ondes homogènes q u i s e p r o n a g e n t dans d a n s d e s d i r e c t i o n s d é f i n i e s1
p a r l e s a n g l e s :û = a r c s i n ( s n ) . L'onde d ' o r d r e n=O s e nronage dans l a n
même d i r e c t i o n ( 8 . ) que l ' o n d e q u i s e r a i t s n é c u l a i r e m e n t r é f l é c h i e s u r
1
l a s u r f a c e (-=O) c o n s t i t u a n t l a s u r f a c e moyenne du s i n u s o ï d e . C e t t e on- de e s t l a s e u l e à ê t r e homogène l o r s a u e d < X/2 ( e n a d m e t t a n t un a n g l e d ' i n c i d e n c e quelconque comnris e n t r e -n/2 e t a / 2 ) .
4 . C o n s i d é r a t i o n s é n e r g é t i q u e s p r é l i m i n a i r e s
.-
C o n t r a i r e m e n t à c e n u i i n t é r e s s e l e s é t u d e s t r a i t a n t de l ' a n p l i c a t i o n d e s r é s e a u x d e d i f f r a c - t i o n à l a s p e c t r o s c o n i e où c e q u i comnte a t r a i t à l a r é n a r t i t i o n angu- l a i r e de l ' é n e r g i e r é f l é c h i e , i c i l ' i m u o r t a n t e s t l a f a ç o n d o n t l ' é n e r - g i e e s t d i s t r i b u é e e n t r e l e s deux e s n a c e s de r é f l e x i o n ( y > f ( x ) ) e t d ' a b s o r p t i o n (y < f ( x ) ).
Le f a i t que dans un nroblème n h v s i ~ u e l ' é n e r g i e e s t c o n s e r v é e , f a i t exprimé d a n s l e c a s p r é s e n t n a r
p + a = l ( 5 )
s i g n i f i e que moins il y a de r é f l e x i o n o l u s i l y a d ' a b s o r o t i o n . Ceci e s t l ' e f f e t que nous cherchons à nrovoquer Four l e s r a d i a t i o n s compo- s a n t l e s p e c t r e s o l a i r e . La p r o p o r t i o n d ' é n e r g i e envoyée d a n s l a d i r e c t i o n O n p a r r a p ~ o r t à l ' é n e r g i e i n c i d e n t e e s t a p p e l é e r 4 f l e c t i v i t é d i r e c t i o n n e l l e ou e f f i - c a c i t é d ' o r d r e n , e t d é s i g n é e n a r
6
n' La somme de c e s é f f i c a c i t é s , dans l ' h é m i s p h è r e d e s ondes r é f l é c h i e s , d é f i n i t c e n u i s ' a n n e l l e l a r é f l e c - t i v i t é hémisphérinue :l e cham? r é f l é c h i F a r :
2 1.
ê n
= c n / c iOn remarque, d ' a p r è s ( 9 ) , que l ' é n e r g i e r é f l é c h i e dans pl1 e s t d i s t r i - buée uniquement parmi l e s o r d r e s homogènes. A i n s i , l a r é f l e x i o n s u r un p l a n e t s u r un r é s e a u d e p a s d < A/2 a c e c i de commun que dans l e s deux c a s t o u t e l ' é n e r g i e r é f l é c h i e e s t d i r i g é e dans l a même d i r e c t i o n
8, = Bi
,
-
d a n s c e c a s l a r é f l e c t i v i t é hémisphérique s e confond a v e c l a r é f l e c t i v i t é d i r e c t i o n n e l l e .La mesure de l ' e f f e t s é l e c t i f du r é s e a u , indépendamment d e s e f -
..
f e t s s é l e c t i f s de l l L , s ' o b t i e n t de p e n l e d i v i s a n t p a r l a r é f l e c t i v i t é du p l a n p o r e c o u v r a n t l e même m a t é r i a u . Nous a p o e l o n s/F=
p / p , l a fonc- t i o n de f i l t r a g e ; c ' e s t e l l e q u ' i l s ' a g i t d ' a p p r o c h e r l e ? l u s n o s s i b l e d e l a f o n c t i o n E ( A-
A c ) l o r s q u e l e s e f f e t s s é l e c t i f s du m a t é r i a u s o n t peu prononçés ou i n e x i s t a n t s .5. Les a p p r o x i m a t i o n s q u i c o n d u i s e n t de l a t h é o r i e de Ravleigh au n r i n - c i p e d'Hul7ahens-Fresnel.- Nous nous i n s ? i r o n s i c i d ' u n e méthode conçue p a r Rayleigh /1/ pour é t a b l i r l a formule q u i t r a d u i t l e PHF. C e l a nous p e r m e t t r a de r a p p e l e r l e s g r a n d e s l i g n e s de l a t h é o r i e d e R a y l e i g h e l l e - même q u i nous s e r v i r a d ' a l t e r n a t i v e q u a s i - r i g o u r e u s e au PHF pour l a vé- r i f i c a t i o n de c e l u i - c i .
Des é q u a t i o n s de llaxwell i l r e s s o r t a u e l e champ o b é i t aux con- d i t i o n s s u i v a n t e s de c o n t i n u i t é s u r l a s u r f a c e du r é s e a u :
où
a n
= ($ax-
a y ) / ( l
+
i2)
lh e s t l ' o p é r a t e u r d e l a d é r i v é e normale,ax,
= a/ay,
P
= d f (x) /dx, e tL ' h y p o t h è s e fondamentale de l a t h é o r i e de R a y l e i g h /1,32/, t e l l e que nous l a comprenons a u j o u r d ' h u i /33/, e s t q u ' u n sous-ensemble b o r n é
cl-64 JOURNAL DE PHYSIQUE
1 1
Ti
e tT2
s o n t donc l e s ensembles 1-Q,
.
.
.
,-1,0,1,...
,O' = (p -1)/212 2 2
e t Q
,
. .
- 1 , O 1 , .,
Q = (P -1) 2 r e s n e c t i v e m e n t .Le f a i t nouveau, p a r r a p p o r t à ( 5 ) e t ( 6 )
,
c ' e s t que l ' o n SUR-p o s e que l e s développements e n ondes p l a n e s s ' a p p l i a u e n t j u s q u ' à s u r l a s u r f a c e du r é s e a u . Ceci permet de l e s i n t r o d u i r e dans (11.) e t (12) Dour o b t e n i r :
e x p i k l (six-ci£)
+
ex? i k ( s n x 1 1+
c n f ) 1=x
Tn ex9 i k 2ne+ R n n&
1 1 1 1 1
i
(Esi
+
ci) e x p i k ( s i x-
c i £ )+x
R n i (Esn-
c n ) ex? i k ( s n x ne 9 2 2 2 2 i y (r's2+
c n ) exp i k ( s n x-
c n £ ) n 1 1 L a p r o j e c t i o n d e c e s r e l a t k o n s s u r ex?-ik smx (m.?+F )
donne l i e u à un système l i n é a i r e p e r m e t t a n t l a d é t e r m i n a t i o n d e s inconnues Rn e t Tn. C ' e s t l a méthode d i t e d e R a y l e i g h que nous avons employée p o u r o b t e n i r d e s r é s u l t a t s de r é f é r e n c e .Empruntons l e chemin q u i c o n d u i t a u PH- e n s u p p o s a n t d ' a b o r d que l s i f l << lcil (18)
C e t t e c o n d i t i o n s i g n i f i e : a u s e n s r e s t r e i n t , que t o u t p o i n t d e l a s u r - f a c e du r é s e a u d o i t p o u v o i r ê t r e a t t e i n t Dar l e v e c t e u r d ' o n d e i n c i d e n t s a n s que c e l u i - c i s o i t o b l i g é de t r a v e r s e r du m é t a l ; e t a u s e n s l a r g e , que l ' i n c i d e n c e e s t quasi-normale ( B i = O ) . En deuxième l i e u , nous a l l o n s s u p p o s e r que
1 ' 1
lsnfl << l c n l ; n a ? '
.
(19) Pour c e l l e s d e s ondes comprises d a n s % , (19) é q u i v a u t àIr4ax(f)
]
<< t a n ( a/2- On) ; nr
T1,
na
,
(20)c o n d i t i o n , q u i s i g n i f i e : a u s e n s r e s t r e i n t , q u ' a u c u n d e s r a y o n s r é f l é - c h i s ne d o i t h e u r t e r l e s p a r o i s du r é s e a u e n s ' é c h a p n a n t d e c e l u i - c i ;
e t au s e n s l a r g e , que t o u s les rayons r é f l é c h i s d o i v e n t f a i r e un a n g l e proche d e 0' a v e c l ' a x e d e s y p o s i t i f s . En t r o i s i è m e l i e u , nous suc- posons que
2 2
lsnfl << lcnl ; n r T 2 (21)
C e t t e c o n d i t i o n ne s e p r ê t e p a s à une i n t e r p r é t a t i o n géométrique é t a n t donné q u ' e l l e s e r a - p o r t e à d e s ondes inhomogènes. Les h!vpothèses (181,
Comrient j u s t i f i e r c e s a p p r o x i m a t i o n s ? Deux c a s p e u v e n t s e p r é s e n t e r . Le p r e m i e r e s t c e l u i ofi 1 1 1 2 ' r r ~ / k d l << 1 (25) c o n d i t i o n q u i e s t é q u i v a l e n t e à S i
oL
e s t du même o r d r e que 'Q (25) g a r a n t i t 1 2 1 ~ ~ ~ / k ~ d l << 1 (27) 2 1é t a n t donné que Ik
1
> Ik1 .
Donc, a u minimum i I f a u t que d / ~ > > 1 (28)1 2
pour que cn e t
tn
p u i s s e n t s a t i s f a i r e à (23) e t ( 2 4 ) . L e deuxième c a s e s t c e l u i o ù y=T2
= (01 ; a l o r s (23) e t (24) d e v i e n n e n t d e s i d e n t i -2 2
t é s ( c a r d i = ci e t co =
.
AU minimum, il f a u t que d < X/2 Gour qu'
on n ' a i t à c o n s i d é r e r q u ' u n e s e u l e onde d a n s chaaue m i l i e u (dans l a mé- thode de R a y l e i g h ) mais e n t o u t e p r o b a b i l i t é l a c o n d i t i o n pour que c e s o i t d a v a n t a g e v r a i e s td << X/2 (29)
Notons au p a s s a g e que n i Rayleigh n i d ' a u t r e s p e r s o n n e s à n o t r e connais- s a n c e n ' o n t songé que l e PHF p o u v a i t s ' a ~ n l i q u e r s o u s l a c o n d i t i o n ( 2 9 ) . Avec ( 2 3 ) - ( 2 4 ) on d é d u i t de (15) e t d e (22) : 2
a
,
Y
(k1''
ayu2 ( x , £1 ou b i e n , compte t e n u de (11) : 1 1 (kl)-'(:ax-
a y ) u ( x , f ) (-kl)-'a u l ( x , f ) ' . i c i Y U ( x , f ) (31) YC e t t e r e l a t i o n oermet de r é s o u d r e l e problème de l ' i n t e r £ ace p é r i o d i - que e n t r e deux m i l i e u x e n ne r e g a r d a n t que c e q u i s e n a s s e d a n s un d e s m i l i e u x ( l ' a i r ) . En i n t r o d u i s a n t d a n s (31) l e dévelonnement e n ondes 1 1 p l a n e s (14) e t e n p r o j e t a n t l a r e l a t i o n a i n s i obtenue s u r ex--ik
sm
x , nous obtenons f i n a l e m e n t : d 1 dx Rn =RO
J ex?-i[%
+
2k ci£ ( x ) ]7
(32) Ooù
(Ro
e s t l e c o e f f i c i e n t de r é f l e x i o n de F r e s n e l du d i o p t r e p l a n :,=OJOURNAL DE PHYSIQUE
6. C o n s i d é r a t i o n s é n e r a é t i q u e s
-
s u i t e . - Nous a u r o n s à é v a l u e r l a v a l i - d i t é d e s c a l c u l s i s s u s d e s deux méthodes ( R a y l e i g h e t PHL) que nous ve- nons d ' é v o q u e r . Une d e s f a ç o n s de l e f a i r e e s t de v é r i f i e r que les r é - s u l t a t s s a t i s f o n t à l a r e l a t i o n de c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e .L e f a i t d ' é c r i r e c e l l e - c i comme p
+
a = 1 ne s u f f i t p a s p o u r c e t t e t â c h e ; e n c o r e f a u t - i l r e l i e r p e t a aux chamos é l e c t r o m a g n é t i f f u e s .I l e s t i n t é r e s s a n t d ' o b s e r v e r que t o u t e s l e s é t u d e s ( s a u f une /32/) d o n t nous avons c o n n a i s s a n c e q u i t r a i t e n t du problème d e l a d i f f r a c t i o n p a r un r é s e a u a b s o r b a n t ( e . g . , /11-13,15-23,27,34n ne com?ortent pas de vé- r i f i c a t i o n p a r l a r e l a t i o n de c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e pour l a s i m p l e rai- son que l e u r s a u t e u r s n ' o n t p a s pu é t a b l i r c e t t e r e l a t i o n s a u s s a forme e x t e n s i v e . I l e s t donc u t i l e q u e nous r a p p e l i o n s n o t r e c o n t r i b u t i o n /32/ à c e s u j e t , a v a n t d ' e n f a i r e l ' a g n l i c a t i o n aux r é s u l t a t s i s s u s d e s mé- t h o d e s de Rayleigh e t du PHF. La r e l a t i o n de c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e e s t une s i m p l e conséquence du théorème de Green e t s ' é c r i t : Il
+
I2 = O ( 3 4 ) a v e c d 1rl
= c k ' d C , ~ - ~ I~[;
J * ( x , ? )a p
( x , ~ ) a x ]où
a
s i g n i f i e l ' o p é r a t i o n conjuguée complexe e t5
e s t une ordonnée SU-p é r i e l r e à Max(f (x)), mais a u t r e m e n t quelconque. S a c h a n t que ( 9 ) e t ( 6 )
s ' a p p l i q u e n t r i g o u r e u s e m e n t ?Our y Max(£) e t y Q Min ( £ 1 r e s n e c t i v e - ment q u i ,
,
on t r o u v e : m 1 = -1 + e ( I R ~ / ~ C ; / C ~ >; V U
> > i a x ( f ( x i > ( 3 7 ) compte t e n u d e(gf-gt
(10),
s ' é c r i t IL = -1+
p , d e s o r t e a u e ( 3 4 ) d e v i e n t p + 1 2 = 1 (38) d ' o ù l ' o n d é d u i t a = I 2 (39)Nous sommes a i n s i parvenus à r e l i e r l ' a b s o r ~ t i v i t é a u champ é l e c t r o m a - g n é t i u u e s u r l a s u r f a c e du r é s e a u .
Nous pouvons a l l e r un peu p l u s l o i n , t o u t e n r e s t a n t dans un ca- d r e t r è s g é n é r a l . Pour c e l a nous apnlicruons d ' a b o r d l e s c o n d i t i o n s de c o n t i n u i t é ( 1 1 ) - ( 1 2 ) d a n s (36) :
2 2 -1
.
2E n s u i t e nous dévelopgons u ( x , £1 e t y ( i k ( f a x
-
a
u ( x l f) e n s é r i e Y2c e - u i donne l a r e l a t i o n S a c h a n t c u e p a r i n v e r s i o n de F o u r i e r on a d
v
= - / 1 1 n O u2 ( x , f ) exo-ik s x n ( 4 4 ) I#J =-
d x 2 -1 2 1 1 n O / y ( i k ) ( f a x-
a
) u ( x , f ) e x n - i k snx (45) il v i e n t , compte t e n u de ( 1 5 ) Les i n t é g r a l e s dans c e s r e l a t i o n s a n p a r a i s s e n t au c o u r s du c a l c u l d e s Rn e t Tn dans l a méthode de R a y l e i g h e t n ' o n t a i n s i n a s à ê t r e r e c a l c u l é e s i c i . En i n t r o d u i s a n t d e s Rn e t Tn i s s u s de l a méthode d e Rayleigh d a n s on d i s o o s e d ' u n e méthode pour é v a l u e r l e d e g r é de v é r i f i c a t i o n de l a r e l a t i o n d e c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e p u i s r r u ' i l f a u t a u e&=
1. La v é r i f i c a t S o n du PHF p a r c e t t e t e c h n i n u e nous o b l i g e à f a i r e une p e t i t e d i g r e s s i o n . D'abord nous r e f a i s o n s a p o e l au théorème de Green pour é t a b l i r /32/ ( e n t o u t e r i g u e u r ) une r e l a t i o n e n t r e l e cham0 SuDer- f i c i e l e t l e s c o e f f i c i e n t s Rn de l a r e n r é s e n t a t i o n ( 5 ) :1 1 1 1 1 1
+
i ( i s n - c n ) u ( x , f ) } e x n - i k ( s n x + c n f ) ( 4 9 )En r e p r e n a n t à n o t r e compte l e s ap?roximations que nous avons i n t r o d u i - t e s pour a b o u t i r au PHF nous o b t e n o n s
JOURNAL DE PHYSIQUE De l a comoaraison d e c e t t e r e l a t i o n a v e c c e l l e r e l a t i v e a u PHF (32) nous t i r o n s : 1 u ( x , f ) = (1 + ! R o ) ~ i ( x , f ) ( 5 1) e t p a r v o i e d e (31) : 1 -1 1 (k )
(;ax
-
a y ) u ( x , f )-
(1-R
c-kl)-l aL7ui(x.f).
(52) Le l e c t e u r i n i t i é à l ' u t i l i s a t i o n de l a méthode de Beckmann /35/ recon- n a î t r a e n (51) e t (52) d e s c o n d i t i o n s aux l i m i t e s annrochées t r è s s i m i - l a i r e s à c e l l e s a t t r i b u é e s n a r Beckmann à K i r c h h o f f e t rrui s ' é c r i v e n t : a v e c c l-
yc 2n(x)
= 1 c+
yc 2 (55) 1 1 2 c l = c o s û,
s1 = s i n û,
û = û - a r c t a n( f ) ,
s2
= k s /k,
i 2 c 2 = [ 1 - ( S 2 ) 2 ] ' , R e ( c 2 ) 5 0 , I m ( c ) 5 O.
Le p a s s a g e de ( 5 3 ) - (54) à ( 5 1 ) - (52) s e f a i t e n s u n o o s a n t muef
e s t s u t - fisamment p e t i t pour que û-
Bi e tlisil
< < I c i ] . On v o i t de c e t t e mani- è r e que l e - r i n c i n e d'Huyghens-Fresnel n e u t a u s s i s e d é d u i r e , moyennant q u e l q u e s a p p r o x i m a t i o n s , de l a formule de Beckmann. Pour r e v e n i r à n o t r e v é r i f i c a t i o n du PHF, i n t r o d u i s o n s (51) e t (52) dans ( 3 6 ) . C e l a donne :c e q u i e s t simplement é g a l à l ' a b s o r o t i v i t é (1
-
p O ) du v l a n (v=O) r e - c o u v r a n t l e même m a t é r i a u que l e r é s e a u . En d ' a u t r e s mots : oour n u ' i ly a i t c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e dans l a méthode l i é e au PHF, il f a u d r a i t gue l a r é f l e c t i v i t é h é m i s n h é r i a u e à l a a u e l l e e l l e donne l i e u s o i t é g a l e
à l a r é f l e c t i v i t é du wlan.
Ce r é s u l t a t e s t t r è s f â c h e u x c a r il n ' y a de cohérence i n t e r n e dans l e PHF que s i l e r é s e a u r é f l é c h i t comme un n l a n , c a s s a n s i n t é r ê t pour nous p u i s q u e nous voulons j u s t e ~ e n t nue l e r é s e a u r é d u i s e l a ré-
r e ~ r é s e n t e l ' é n e r g i e t o t a l e dans l a méthode PHF, nous dé£ i n i s s o n s une r é f l e c t i v i t é e t une a b s o r n t i v i t é " c o r r i g é e s "
d o n t l ' i n t é r ê t r é s i d e dans l e f a i t q u ' e l l e s s a t i s f o n t automatifluement
à l a r e l a t i o n d e c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e
p z
+
a 2 = 1 (59)e t de r é s o u d r e a i n s i l e problème de cohérence i n t e r n e . En f i n de comnte l e c h o i x d é p e n d r a d e l a o o n f r o r r ~ a t i o n d e p l ou p 2 a v e c l e s r é s u l t a t s de r é f é r e n c e .
7 . Ce que d i t l e PHF de l a rénonse s ~ e c t r a l e d ' u n r é s e a u . - Dans l a s u i - t e de c e t r a v a i l , nous s u p o s e r o n s que l ' i n c i d e n c e e s t auasi-normale. P u i s q u ' i l s ' a g i t i c i d ' u n e s u r f a c e d e c a n t a t i o n s i n u s o ï d a l e , l e PHF, ? a r v o i e de (32) e t (10) donne : J é t a n t f o n c t i o n de B e s s e l d ' o r d r e n /36/. P a r conséquent : n m P
=
pl = p 0 R e ( 2[
J~ (2k1hci)f
CA
/ci)-
(61) n=-m 1Sachant que lcn/cil
<
1, n e % , e t Tue R e ( z ) 6 I z ] , on ae x p r e s s i o n , n u i , compte t e n u de l a formule /36/
s e r é d u i t à l ' i n é g a l i t é
d e l a q u e l l e on d é d u i t
cl-70 JOURNAL DE PHYSIQUE dans l e PHF, n a r un d é f i c i t d ' é n e r g i e d a n s l e c a s g é n é r a l . Le s i g n e d ' é g a l i t é dans (65) s ' a p p l i q u e dans l a l i m i t e X/d + 0, c a r a l o r s c l n + C i' P a r c o n t r e , Four X/d > > 1, (61) s e r é d u i t à s a c h a n t /36/ que J O ( x ) 1
-
x2/4 on t r o u v e Lim p l = p o X/d- Donc, il y a c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e , d a n s l e PHF, a u s s i dans l a l i m i t e X/d + m.
C e c i confirme l a remarque f a i t e à l a s u i t e d e l a r e l a t i o n ( 2 9 ) E n t r e c e s deux l i m i t e s il e s t n é c e s s a i r e de r e c o u r i r au c a l c u l . La f i g u r e 2 e s t un exemnle a s s e z ty-ictue (on se l i m i t e désormais à 1'i n c i d e n c e 9 = 0 )
.
Fig. 2.- R é ~ o n s e s n e c t r a l e d ' u n r é s e a u s i n u s o i d a l (h = 0,2p, d = 2p) s u r c u i v r e , r e c e v a n t une o ~ d e eB i n c i d e n c e normale.
y3
= p / O f o n c t i o n de f i l t r a g e s e l o n l a méthode de---
----
73
= p H / p o f o n c t i o n d e f i l t r a g e , s e l o n l a MR, dans iîie c a s- - -
.
.
. . . .-.-
-
p / p f o n c t i o n de f i l t r a g e s e l o n l e n r i n c i p e a J ~ u v g k e n k ! - ~ r e s n e l (PHFI--
.
--
.--.--.--
.--.-
= 1 + a l é n e r g i e t o t a l e s e l o n l e PHF ( d o i t ê t r e = 1 n o u r q u e l ' é n e r q i e s o i t c o n s e r v é e )-. . -. . -. . -. . -. . -. .
y2
=' p 2 / p o f o n c t i o n de f i l t r a g e s e l o n l e PHF " c o r r i - g e " . Le d é f i c i t d ' é n e r g i e t o t a l e e s t a s s u r é m e n t t r è s g r a n d s u r t o u t e l a g l a - ge d e s l o n g u e u r s d ' o n d e , mais on h é s i t e à d i s q u a l i f i e r l e r é s u l t a t du PHF(x
= p / p ),
c a r il a une a l l u r e q u i n ' e s t p a s l o i n de c e nue l ' o n 1 O c h e r c h e . Pour s a v o i r s i c e t t e f o n c t i o n de f i l t r a g e ) c o r r e s o o n d b i e n à l ' a c t i o n r é e l l e de c e t t e s u r f a c e , il s u f f i t de r e g a r d e r ( F i g . 2 ) l e s c o u r b e s 7 ; et?: i s s u e s de l a méthode de R a y l e i g h DoUr l e s deux c a s Ee t H. De t o u t e é v i d e n c e , l ' e f f e t de s é l e c t i v i t é ? r o d u i t n a r c e r é s e a u e s t extrêmement f a i b l e , c o n t r a i r e m e n t à c e q u e l a i s s a i t n r é v o i r l e PHF. Cependant, c e r t a i n s d é t a i l s d e T l
et'F3.T
on l ' a i r de s e r e c o u n e r ,E
notamment l e s p l i s que l ' o n o b s e r v e ( t o u t au moins s u r T l e t y 3 ) aux l o n g u e u r s d'onde de R a y l e i g h :
A,,
= d/n, n = 1 , 2 ,...
Ces d i s c o n t i n u i t é s de p e n t e s o n t d e s a n o m a l i e s de Wood /1,27/, @ ' i l ne f a u t nas confondre a v e c l e s p e t i t s p u i t s de r é f l e c t i v i t é que l ' o n o b s e r v e s u r ' F 3 . En f a i t , un examen a t t e n t i f de l a c o u r b e r é v è l e que les minima de ces p u i t s s o n t s i t u é s à d e s A l é g è r e m e n t s u p é r i e u r e s aux l o n g u e u r s d ' o n d e de Rayleigh.I l s ' a g i t , de t o u t e é v i d e n c e /25,26/ d ' a b s o r p t i o n n a r l e s nlasmons de s u r f a c e . Ce phénomène n ' a p p a r a i t n a s s u r l a courbe r e l a t i v e au PHF. Donc, pour résumer, l e PHF n ' e s t p a s e n mesure de d é c r i r e c o r r e c t e m e n t l a f o n c t i o n d e f i l t r a g e d e c e r é s e a u .
La r a i s o n de c e t échec e s t que s u r l ' i n t e r v a l l e [O , 4 5 ~ ; 2 ~ 1 nous avons v i o l é un d e s présup?osés du PHF ; e n e f f e t , l a c o n d i t i o n
( 1 9 ) n ' e s t p a s r e s p e c t é e , s a u f nour l ' o n d e d ' o r d r e n=O. I l e s t i n t é r e s - s a n t à c e t é g a r d de comparer l e
êO
i s s u s d e s deux méthodes ; c e c i e s t f a i t dans l a f i g u r e 3, r e l a t i f au même c a s que dans l a f i g u r e 2 , 013 l ' o n c o n s t a t e quel a
c o u r b e , r e l a t i v e au PHF, s u i t b i e n l a moyenne d e s cour- b e s d e s deux p o l a r i s a t i o n s i s s u e s de l a méthode de R a y l e i g h , c e c i v a l a n tj u s q u ' a A 2 2p e t e n d e h o r s d e s r é g i o n s OP se n r o d u i s e n t l e s a n o m a l i e s
de Wood e t l ' a b s o r n t i o n n a r l e s nlasmons de s u r f a c e ( e f f e t n u i e s t snec- t a c u l a i r e au n i v e a u de
êO
) . La d i v e r g e n c e e n t r e l e s deux méthodes pour A 5 2 ~ s ' e x p l i q u e p a r l e f a i t q u ' i l ~7 a v i o l a t i o n t r o p f l a g r a n t e du n r é - supposé (28) dans c e t t e r é g i o n . C e t ensemble d e f a i t s e s t i n t é r e s s a n t c a r il démontre d ' a b o r d que l e PNF rend b i e n compte de l a r é f l e c t i v i - t é dans l a d i r e c t i o n s p é c u l a i r e ( O 0 = Bi = 0') dans une l a r g e ~ l a q e de l o n g u e u r s d ' o n d e , e t e n s u i t e e t s u r t o u t que c e t t e r e f l e c t i v i t é e s t c e l - l e d ' u n e f o n c t i o n .ê0
= [ ~ ~ & 2c ~. ] l . on. #
t # e de s é l e c s-
JOURNAL DE PHYSIQUE
que
GO
s e confond avec p pour d <X
( t o u j o u r s en i n c i d e n c e normale), l a remarque précédente suggère q u ' i l s e r a i t i n t é r e s s a n t de f a i r e en s o r t e que l e pas du r é s e a u s o i t i n f é r i e u r ou é g a l à Amin du s p e c t r e so- l a i r e .Fig. 3 . - E f f i c a c i t é dans l ' o r d r e n=O d'un r é s e a u s i n u s o i d a l (h=0,2p, d = 2 ~ ) s u r c u i v r e , r e c e v a n t une onde e n i n c i d e n c e normale.
ê E / p e f f i c a c i t é normalisée, s e l o n l a F t R , dans l e
-- ---
---
---
----
& O / P n c i s&
e f f i c a c i t é normalisée, s e l o n l aPm,
dans l e c a sR
-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
ê O / p O e f f i c a c i t é normalisée s e l o n l e PHFLa f i g u r e 4 f a i t é t a t - d e l a réponse s n e c t r a l e d'un t e l réseau. L ' e f f e t de s é l e c t i v i t é a maintenant b i e n l i e u , mais e s t a s s e z mal dé- c r i t , s u r l e p l a n q u a n t i t a t i f , p a r l e PHF. Cet échec, nue l ' o n v o i t s e r é p e r c u t e r s u r La balance d ' é n e r q i e , e s t a t t r i b u a b l e au f a i t aue l a nen- t e maximale de c e r é s e a u e s t t r o p grande. En e f f e t , Dour que l a r e l a t i o n
( 1 9 ) s o i t r e s p e c t é e nour l e s ondes inhomogènes ( n 3 l ) , il f a u d r a i t , n a r exemple pour X = 0,9u ( s a c h a n t nue d=0,3p )
,
crue Wax(:) s o i t t r è s i n f é - r i e u r à 0,94, c e q u i n ' e s t pas l e c a s nuisaue Flax(f) vaut 0,47.Pour résumer, nous pouvons d ' o r e s e t d é j à d i r e aue l e PHF a au moins é t é u t i l e pour d i r i g e r l e choix du pas d du r é s e a u ; il a rév vu que l ' e f f e t de s é l e c t i v i t é , q u i é t a i t a s s e z f a i b l e nour d 5 Xmaxr au- r a i t l i e u pour d ? Amin e t c e l a s ' e s t b i e n confirmé. T o u t e f o i s , l e P H F
Fig. 4
.-
Réponse s n e c t r a l e d'une s i n u s o i d e s u r Cu. Bi =o O ,
h=0,075~1, d=0,3p. Mêmes n o t a t i o n s que dans l a f i g u r e 2.8. Ce que d i t l e PHF " c o r r i g é " de l a rénonse s n e c t r a l e d ' u n réseau.- Nous avons d é j à évoqué l a p o s s i b i l i t é de " c o r r i g e r " l e s r é s u l t a t s aue donne l e P H F pour l e u r donner l a cohérence i n t e r n e aue réclame l e v r i n - c i p e de c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e . Le temns e s t venu d ' é v a l u e r c e t t e nou- ve l l e méthode.
En r e t o u r n a n t à l a f i g u r e 2, on c o n s t a t e aue l a c o r r e c t i o n e s t e f f i c a c e pour X 5 0 , 7 ~ , b i e n q u ' e l l e ne nermette nas de rendre comnte des e f f e t s dus aux plasmons. Dans l a f i - u r e 4 l a c o r r e c t i o n donne une a m é l i o r a t i o n encore p l u s s n e c t a c u l a i r e nuisnue l a courbe c o r r i g é e s e s i t u e e n t r e y :
etTj
a o u r A 50,55u. A i n s i , dans ce c a s , OB une s e u l e onde r é f l é c h i e e s t homogène s u r t o u t e l ' é t e n d u e des X , il s e m b l e r a i t aue l ' o n p u i s s e modéliser, avec une a s s e z bonne n r é c i s i o n , l a f o n c t i o n de f i l t r a g e Q a r :Avant d ' a d o p t e r c e t t e f o n c t i o n comme modèle d ' a c t i o n du r é s e a u , nous croyons u t i l e d ' e n f a i r e l ' é v a l u a t i o n en l a comparant avec l e s r é - s u l t a t s de l a méthode de Rayleigh. Nous avons d'abord f a i t v a r i e r l e paramètre h/d, l i é à Max(f). p 2 e s t donné dans l e s f i e u r e s 5 e t 7 e t
E
JOURNAL DE PHYSIQUE
c o n s t a n t e ( ~ a x ( f ) /rr = 2h/d = 0,2 d a n s les f i g u r e s 5 e t 6 e t ~ a x i i ) / T
= 0,5 d a n s l e s f i g u r e s 7 e t 8 ) .
P i g . 5.- R é f l e c t i v i t é hémisphérique p = p 2 s e l o n l e P H F " c o r r i g é " . S i n u s o i d e s u r Cu. 8 . = 0 ° , h/d=O,l.
Courbe 1 : h = 0 , 0 3 ~
?
courbe 2 : h = 0 , 0 5 ~ ; courbe 3 : h = 0 , 2 ~ .I
0 , 6 O, 8 1.0 2,O
xcP)
F i g . 7.- Cu. Bi = Courbe 1 Courbe 3 p2 e n f o n c t i o n d e A . O o , h/d=0,25. : h=0,05p ; Courbe 2 : h=O,lv. S i n u s o i d e s u r : h = 0 , 0 7 5 ~ ; 4 9 - 0,7 - 0,5 - 0,3 - . F i g . 8.- p - ) et 3 (---- ) en o,i f o n c t i o n de A. M ê m e cas e t m ê m e s no- t a t i o n s q u e dans l a f i ç u r e 7 .
;f
,,.,--l$
., 1 8 II ,'!-?-i
.,; 0,6 0. f3JOURNAL DE PHYSIQUE
Les c o u r b e s p o r t a n t l e s c h i f f r e s 2 e t 3 d a n s l a f i g u r e 5 ne s e ra??or- t e n t p a s ( 6 9 ) , m a i s 2
F2
= p 2 / p 0 , a v e c P 2 d é f i n i e n (58) e t (61). Les e f f e t s d e s ~ l a s m o n s de s u r f a c e , t r è s v i s i b l e s dans l a f i g u r e 6 , ne s o n tE H
p a s d é c r i t s p a r F 2 : il n'empêche que l ' a c c o r d avec ( p 3
+
p 3 ) / 2 , c o r r e s - pondant à l a r é f l e c t i v i t é h é m i s ~ h é r i a u e n o u r une onde i n c i d e n t e non-oo- l a r i s é e , e s t s a t i s f a i s a n t e d è s que X/h e s t suffisamment grand. La com- p a r a i s o n e s t moins bonne dans l e s e c o n d c a s (2h/d=0,5), c e o u i montre que l ' a p o r o x i m a t i o n du PHF " c o r r i g é " se d é g r a d e l o r s a u e l a v e n t e maxi- male du r é s e a u augmente. plalgré t o u t , e l l e nermet, même d a n s ce second c a s , d e r e n d r e com?te de c e r t a i n s e f f e t s q u a l i t a t i f s : b a i s s e de0
aux p e t i t e s X I déplacement d e l a longueur d'onde de coupure v e r s l a d r o i t e , e t b a i s s e de p aux g r a n d e s l o n g u e u r s d'onde l o r s q u e h ( e t d vour main- t e n i r l e m ê m e r a p p o r t h/d) augmente.Essayons de d é t e r m i n e r l a s i g n i f i c a t i o n e t l e s c a r a c t é r i s t i q u e s p a r t i c u l i è r e s d e l a f o n c t i o n ( 6 9 ) . Notons d ' a b o r d q u e % , a u c o n t r a i r e d e T l =
[ J ~
(4nhd/dX)p,
dé?end de p O e t donc d e s n r o v r i é t é s é l e c t r o n i - q u e s du m a t é r i a u ; c e c i e s t un d e s f a i t s q u i r e n d l e PHI? " c o r r i g é " p l u s o l a u s i b l e uuel e
PHF. Pour X/d +-
( e n g a r d a n t h/d c o n s t a n t ) La fonc- t i o n de B e s s e l t e n d , d l a n r & s ( 6 7 ) . v e r s 1, e n g e n d r a n t a i n s i a l + 1. Lor-sque X/d -+ O , l a f o n c t i o n de B e s s e l s e cornoorte comme /36/
JO ( x )
-
(2/nx)'
c o s (X-
n/<) ; x- -
( 7 0 ) e n g e n d r a n t de ce f a i tF2
+ O. Le r é s u l t a t en e s t q u ey2
s e comporte com- m e l a f o n c t i o n é c h e l o n E(X-
Ac) aux deux e x t r é m i t é s de l ' é c h e l l e d e sl o n g u e u r s d'onde. Ceci e s t un f a i t n o s i t i f , e n c e q u i concerne l e p r o b l è - me d e c a p t a t i o n du rayonnement s o l a i r e . Poursuivons n o t r e a n a l y s e de (69) en rema-uant q u ' e l l e a l a forme X (1/ [l-Y]) e t q u e l e f a c t e u r ( ) n ' e s t a u t r e q u e l a s é r i e
La s é r i e e s t c o n v e r g e n t e p u i s q u e
1
p O l < 1 e t1
J O1
4
1 i m n l i q u e n tIoo
{ l-
J;II
< 1.
Essayons de donner une e x p l i c a t i o n h e u r i s t i q u e de ( 7 2 ) . Le o r o - c e s s u s de d i f f r a c t ï o n p a r l e r é s e a u s e décompose e n une s é r i e d'étayses, un peu à l a manière de c e q u i s e p a s s e l o r s de l a r é f l e x i o n d ' u n e onde s u r un empilement d e couches. A chaque é t a p e c o r r e s p o n d un "évènement" t e l que c e l u i d é c r i t p a r l e P H F : une onde d ' i n t e n s i t é 1 donne l i e u à
2
q u i , pour s a t i s f a i r e à l a r e l a t i o n de c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e Dour c e t 2 2 évènement, d o i t a v o i r l ' i n t e n s i t é I~ = I p o
-
I p o J o = I p O ( l-
J O ) A i n s i , l a sonme d e l ' i n t e n s i t é " r é f l é c h i e " I ~ , l ' i n t e n s i t é " t r a n s m i s e " e t de l ' i n t e n s i t é a b s o r b é e 1(1-
p o ) e s t é g a l e à l ' i n t e n s i t é i n c i d e n t e 1. En a p p l i q u a n t c e t t e r è g l e de s é l e c t i o n 3 chaque é t a p e ( a v e c 1=10 = 1 l ' i n - t e n s i t é d e l ' o n d e p l a n e i n c i d e n t e s u r le r é s e a u , Ir l ' i n t e n s i t é I~ de l a t j j-ième é t a o e e t 1 . l ' i n t e n s i t é I~ de l a j-ième é t a p e ) , e t s a c h a n t q u e l ' i n - 3 t e n s i t é r é f l é c h i e g l o b a l e e s t l a somme d e s i n t e n s i t é s r é f l é c h i e s d e s é t a p e s , on t r o u v e : c e q u i e s t b i e n l e r é s u l t a t é c r i t e n ( 7 2 ) . L'onde " t r a n s m i s e " n ' a o a s l e s e n s h a b i t u e l ; i c i c ' e s t un ê t r e a u i t r a n s p o r t e l ' é n e r g i e r e s t a n t a p r è s qu'un évènement, a u s e n s du PH?, a i t e u l i e u . C e t t e é n e r q i e n ' e s t n i t r a n s p o r t é e v e r s les c o n f i n s e x t é r i e u r s de l ' e s p a c e a u d e s s u s du r é s e a u n i a b s o r b é e Dar c e l u i - c i , du moins au moment d e s a c r é a t i o n (1'évènement). C e t t e é n e r g i e e s t donc d i s p o n i b l e pour d ' a u t r e s évènements a u n i v e a u d e l a s u r f a c e d u r é s e a u . L a s u i t e ~ c e s évènements estcomme l a c h a î - ne de r é f l e x i o n s m u l t i p l e s formant l ' i m a g e h a b i t u e l l e s e r v a n t à v i s u a l i s e r l ' a c t i o n du r é s e a u /6,10/. La d i f f é r e n c e a v e c c e t t e image e s t a u e nous n ' i n d i v i d u a l i s o n s p a s d e s ondes ( r a v o n s ) w a r t a n t ou a r r i v a n t e n un p o i n t d e l a s u r f a c e du r é s e a u . Ce a u i e s t e s s e n t i e l dans n o t r e modèle, c ' e s t que l a " c o r r e c t i o n " du PHF a pour e f f e t de f a i r e r é - a g i r l ' é n e r g i e r é - s i d u e l l e c r é é e l o r s d ' u n évènement d e t p e PHF, é n e r g i e que l ' o n f a i t simplement d i s ~ a r a î t r e dans l e modèle PHF.
Pour mieux p r é v o i r l ' a c t i o n du r é s e a u , t e l l e n u ' e l l e s ' e x o r i m e dans ( 6 9 ) ou ( 7 2 )
,
nous devons c h e r c h e r l e s formes a s v m r > t o t i ~ u e s de c e s formules. S o i tx
= 4nh/A ; pourx
>> 1 nous wouvons u t i l i s e r ( 7 0 ) dans(69) pour o b t e n i r :
C e t t e r e l a t i o n confirme l e f a i t évonué n l u s h a u t : une augmentation de h p r o d u i t une b a i s s e de l a r é f l e c t i v i t é hémisphérinue aux ~ e t i t e s lon- g u e u r s d'onde. Pour
X
<< 1 nous u t i l i s o n s (67) dans (72) pour t r o u v e r :cl-78 JOURNAL DE PHYSIQUE
Le f a i t que l a r é f l e c t i v i t é hémisnhériaue e s t i n d é n e n d a n t e du Das d du r é s e a u l o r s q u e X > d, e s t une a u t r e ~ r o o r i é t é du modèle que l ' o n p e u t d é d u i r e d e ( 6 9 ) . E l l e e s t a s s e z b i e n c o n f i r m é e , c o r n e l e montre
l'examen d e s f i c u r e s 11-14, e t s u g g è r e m u ' i l n ' e s t Das n é c e s s a i r e de c o n t r ô l e r l a d i s t a n c e e n t r e l e s e x c r o i s s a n c e s d'une s u r f a c e t e x t u r é e a u t r e m e n t q u ' e n s ' a s s u r a n t q u ' e l l e s s o n t i n f é r i e u r e s à l a longueur d ' onde minimale X du s n e c t r e s o l a i r e . I l e s t même n r o b a b l e que l e c a r a c -
JOURNAL DE PHYSIQUE
1
P i g . 13.- p e n f o n c t i o n de A . S i n u s o i d e s u r Cu.
ei=6',
h=0,11.i. Courbe 1 : d=0,41.i courbe 2 : d = 0 , 5 ~ , c o u r b e 3:d=0,55p.F i g . 1 4 . -
p j
(-1 e t p: (---) e n f o n c t i o n de A. Même c a s e t mêmes no-t a t i o n s que dans l a f i g u r e 13. 0,6 0,8
' * O XCp)
c o r r e s p o n d r e à l ' i d é a l e d e l a f o n c t i o n é c h e l o n E(X
-
Xc) p o u r A = 2p.F i g . 15.- pz(-)
,F
(-..-.
.) e t-
-
e n f o n c t i o n d e A . S i n u s o ï d e s u r CUoi
= 0 0 , h = ~ . t ~ p , d=0,3p.JOURNAL DE PHYSIQUE
F i g . 17.- p 2 (-)
,
<P2
(-..-.
.-) e tTl
.
e n f o n c t i o n de h . Sinu- s o i d e s u r Cu. Bi = 0 ° , h=0,4p d=0,3p....
,
P o .En augmentant h b i e n au-delà d e s p r é c é d e n t s c h o i x , nous o b t e n o n s , a v e c l e modèle P H F " c o r r i g é " , l e s c o u r b e s d e s f i g u r e s 15-17, n u i montrent d e façon c l a i r e , comme o l u s h a u t , a u e l e f a i t d'augmenter h engendre un d é ~ l a c e m e n t de l a longueur d'onde de cououre v e r s l a d r o i t e . * ? a i s , c e f a i t s'accompagne de l ' a n ~ a r i t i o n de o i c s s e c o n d a i r e s a s s e z i n t e n s e s dans l a r é g i o n oh l ' o n v o u d r a i t que la r é f l e c t i v i t é s o i t au n l u s bas. Nous ne savons o a s s i c e s p i c s o n t une e x i s t e n c e r é e l l e ou s o n t l e f a i t que l e P H F d é c r i t mal l a s i t u a t i o n o o u r d e s h/d a u s s i é l e v é s . La comna- r a i s o n a v e c l a méthode de Ravleigh n ' a n a s é t é n o s s i b l e d a n s c e s c a s , c a r nous n ' a v o n s p a s pu e n t i r e r d e s s o l u t i o n s q u i v é r i f i e n t l a r e l a t i o n de c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e a v e c une réc ci si on s u f f i s a n t e .
Pour c o n c l u r e c e t t e é v o c a t i o n d e s o r o p r i é t é s a s s e z d i v e r s e s de l ' a c t i o n du r é s e a u , nous voulons s i g n a l e r une q r o n r i é t é e s s e n t i e l l e de
( 7 2 ) . S i l a r é f l e c t i v i t é p o e s t suffisamment f a i b l e , l a s é r i e se r é d u i t
à s o n p r e m i e r terme e t p 2 s e r é d u i t à p l , c ' e s t à d i r e que l a r é f l e c t i - v i t e - r é v u e n a r lePHF " c o r r i g é " s e r é d u i t à c e l l e nrévue o a r l e PHF.
Nous avons r e n o r t é l a f o n c t i o n
s u r l ' i n t e r v a l l e [lmin, Am,,] on s e r a i t e n bonne l ~ o s t u r e de r é s o u d r e l e problème de l a s é l e c t i v i t é n o u r l ' é n e r g i e s o l a i r e , ~ u i s n u ' o n o b t i e n - d r a i t une r é f l e c t i v i t é hémisphérique i n f é r i e u r e à 0,10 s u r l a t o t a l i t é d u s p e c t r e s o l a i r e . R e s t e à s a v o i r s i l e modèle t h é o r i q u e n ' e s t p a s t r o ~ f a u x pour d e s r é s e a u x a y a n t de s i f o r t e s ? e n t e s . C ' e s t une q u e s t i o n à l a q u e l l e il s e r a i t n é c e s s a i r e d e r é p o n d r e à l ' a v e n i r .
9. Conclusion.
-
S e l o n l e modèle l i é au n r i n c i ~ e d'Huyghens-Fresnel, un r é s e a u a b s o r b a n t a g i t comme un ensemble de s o u r c e s d i s ? o s é e s s u r s a s u r - f a c e ; une p a r t i e du chamo rayonné p a r chaque s o u r c e e s t a b s o r b é e dans l e s u b s t r a t e t l ' a u t r e p a r t i e s e recombine a v e c l e s champs ravonnés dans l ' a i r p a r l e s a u t r e s s o u r c e s pour c r é e r un é t a t d ' i n t e r f é r e n c e q u i r e n d , e n grande p a r t i e , compte de l a forme g é n é r a l e de l a c o u r b e de r é n o n s e s p e c t r a l e d e l a s t r u c t u r e . T o u t e f o i s , c e modèle extrêmement s i m n l e en- g e n d r e une v i o l a t i o n du p r i n c i p e d e c o n s e r v a t i o n d ' é n e r g i e e n f a i s a n t d i s o a r a î t r e une n a r t i e de l ' é n e r g i e rayonnée dans l ' a i r , n a r les s o u r c e s i n d u i t e s s u r l a s u r f a c e du r é s e a u , pi, s i l ' o n e n t e n a i t compte, Four- r a i t r é - a g i r s u r l e r é s e a u e n t a n t q u ' a p p o r t su,?-lémentaire d ' é n e r g i e i n c i d e n t e . L ' i n c l u s i o n de c e t e f f e t dans l e modèle PH?? se r é v è l e n o s s i -b l e , e t m ê m e f r u c t u e u x . L ' a c c o r d e n t r e c e pue n r é v o i t l e PHF a i n s i "cor- r i g é " e t c e que donne une t h é o r i e q u a s i - r i g o u r e u s e e s t e x c e l l e n t n o u r d e s r é s e a u x de p e n t e s was t r o n a c c u s é e s . Yême Four d e s r é s e a u x d e ? l u s f o r t e p e n t e , l e s p r i n c i p a u x a s p e c t s de l ' e f f e t de s é l e c t i v i t é s o n t b i e n d é c r i t s p a r l e nouveau modèle. Cependant, il s e dégage d e n o t r e i n v e s - t i g a t i o n que l e nroblème p r a t i q u e d e l a c a p t a t i o n d ' é n e r g i e s o l a i r e né- c e s s i t e r a d e s s u r f a c e s à r u g o s i t é s t r è s a c c u s é e s , d o n t l ' a c t i o n s u r l a l u m i è r e i n c i d e n t e écha-ne non s e u l e m e n t à l a d e s c r i ? t i o n du PHF " c o r r i -
gé", mais a u s s i à c e l l e de l a t h é o r i e q u a s i - r i g o u r e u s e de Xayleigh. I l
e s t donc n é c e s s a i r e de p o u r s u i v r e l ' e f f o r t t h é o r i q u e ; l e s r e n s e i g n e - ments f o u r n i s F a r l e s modèlesque nous avons é l a b o r é s i c i p o u r r a i e n t c o n s t i t u e r une bonne b a s e de d é p a r t .
Nous avons a u s s i a g p r i s de c e s modèles que l a p o s s i b i l i t é d e met- t r e e n o e u v r e un c a p t e u r a y a n t l a courbe de rénonse v o u l u e ne dé?end n a s s e u l e m e n t d e l a r u g o s i t é , mais a u s s i , e t t r è s s e n s i b l e m e n t de l a r é f l e c - t i v i t é du s u b s t r a t ? l a n t r é f l e c t i v i t é l i é e aux y r o n r i é t é s é l e c t r o n i q u e s du m a t é r i a u . Autrement d i t , l a r u g o s i t é , n r e s t ?as une oanacée e t il
a t o u t l i e u de c o n t i n u e r l e s r e c h e r c h e s s u r l e s m a t é r i a u x .
JOURNAL DE PHYSIQUE
/1/ Rayleigh, L., The Theory of Sound,
Dover, N.Y., ( 1 9 4 5 ) vol.
2,
D. 9 0/2/ Beranek, L., Sleecer, H.P., J.Acoust.
Soc-Am.
18
( 1 9 4 6 ) 1 4 0/3/ Emerson, W.H., I.E.E.E. Trans. A P - 2
( 1 9 7 3 ) 4 8 4
/ 4 / Tabor, H., Bull.Res.Counc.Israe1
3
( 1 9 5 6 ) 1 1 9
/5/ ?lattox, D.M., Sowell, R.R., J.Vac. Sci.Techno1.
11 ( 1 9 7 4 ) 7 9 3
-
/6/ Duffie, J.A., Reckman, W.A., Solar Energv
Thermal Processes (Wiley, N.Y.) 1 9 7 4 , ?. 1 0 0
/7/ Cuomo, J.J., Ziegler, J.F., I~Toodall, J.M.,
Appl.Phys.Lett. ( 1 9 7 5 ) 5 5 7
/8/ Mattox, D.EI., Kominiak, G. J., J. Vac. Sci.Techno1.
1 2 ( 1 9 7 5 ) 1 8 2
-
/9/ Berg, R.S., Kominiak, G.J., J.Vac.Sci.Techno1.
1 3 ( 1 9 7 6 ) 4 0 3
-
/ 1 0 / Seraphin, B.O., Meinel, A.B., in Optical Pro-
perties of Solids, New Develo~ments, ed. B.O.
Seraphin (North Holland, Amsterdam) 1 9 7 6 ,
ch. 1 7
/11/ Golomb, M . , Opt.Comm.
27
( 1 9 7 8 ) 1 7 7 / 1 2 / Vincent, P., 0pt.Com. ( 1 9 7 8 ) 2 9 3 / 1 3 / Botten, L.C., 0pt.Acta ( 1 9 7 8 ) 4 8 1 / 1 4 / Spitz, J., Aubert, A., Behaghel, J . V . ,Berthier, S., Lafait, J., Rivory, J.,
Rev.Phys.Anw1.
2
( 1 9 7 9 ) 6 7/ 1 5 / Neureuther, A.R., Zaki, K., Alta Freq.
3 8 ( 1 9 6 9 ) 2 8 2
-
/ 1 6 / Neviere, M., Vincent, P., Petit, R., Nouv.
Rev.Opt. 5 ( 1 9 7 4 ) 6 5
/ 1 7 / Loewen, E.G., Neviere,M., Mavstre, D., A-pi.
Opt. 16 ( 1 9 7 7 ) 2 7 1 1
/ 1 8 / Gavrielides, A., Peterson, P., Appl.O?t.
1 8 ( 1 9 7 9 ) 4 1 6 8 -
P e t i t , R . , C.R. H e h d . S é a n . A c a d . S c i . P a r i s 2 5 8 ( 1 9 6 4 ) 1 4 2 9 H Z g g l u n d , J . , S e l l b e r g , F . , J . O v t . S o c . A m . 5 6 ( 1 9 6 6 ) 1 0 3 1
