Révision : géométrie dans le plan et l'espace
I. Vecteurs du plan et de l'espace 1.1 Dénitions
Dénition :
Un vecteur−→u est la donnée d'une direction, d'un sens et d'une longueur (appelée la norme du vecteur).
On note−→
0 le vecteur nul qui n'a ni direction ni sens mais une longueur nulle.
Dans le plan ou dans l'espace, siMetN sont deux points. On dit que−−→
M Nest un représentant du vecteur−→u siM etN vérient :
−→u à la même direction que la droite (M N).
Lorsqu'on va deM à N on suit le sens donnée par−→u. La distance M N est la même que la longueur de−→u. M est l'origine du vecteur etN est
On associe ainsi à tout couple (M, N) un unique vecteur.
SiM est un point du plan et−→u un vecteur, il existe un unique point N tel que−−→
M N soit un représentant de −→u.
On munit ensuite le plan de deux opérations : La somme de deux vecteurs : Si−→u =−−→
OM et−→v =−−→
ON sont deux vecteurs, on note−→u+−→v le vecteur représenté par−−→
OQoù Qest l'unique point du plan tel que −−→
M Q=−−→
ON. La multiplication d'un vecteur par un réel : Si−→u est un vecteur etλun réel, on noteλ.−→u
le vecteur ayant la même direction que−→u, le sens de −→u si et seulement si λest positif et ayant pour longueur la longueur de−→u multipliée par|λ|.
Soituetv deux vecteurs. Si l'un des deux est nul ou s'il existeλ∈R∗ tel queu=λv, on dit queu etv sont colinéaires.
Deux vecteurs colinéaires non nuls ont donc la même direction (mais pas nécessairement le même sens ou la même longueur).
On suppose qu'on peut munir le plan d'une base(−→ i ,−→
j). C'est à dire de deux vecteurs−→ i ,−→
j tels que
∀−→u ,∃!(x, y)∈R2,−→u =x−→ i +y−→
i
Le couple (x, y) est alors appelés coordonnées de−→u dans la base (−→ i ,−→
j). Si de plus on choisit un point particulier,O, appelé origine, le triplet(O,−→
i ,−→
j)est un repère du plan.
Dans le repère (O,−→ i ,−→
j), les coordonnées(x, y) d'un pointM du plan sont les coordonnées du vecteur−−→
OM. Un point M est donc entièrement déterminé par la donnée de ses coordonnées dans un repère.
On fait le même travail dans l'espace, en le munissant d'un repère(O,−→ i ,−→
j ,−→
k)oùO est un point choisi arbitrairement, et(−→
i ,−→ j ,−→
k)est une base, permettant de dénir les coordonnées de tout vecteur et de tout point.
Remarque :On voit qu'il existe une analogie très forte entre l'ensemble des vecteurs du plan muni des deux opérations ci-dessus et l'espace vectoriel R2. Une base de l'ensemble des vec- teurs correspond à une base deR2 est les coordonnées d'un vecteur du plan correspondent aux coordonnées d'un vecteur deR2.
Propriété :(sur les vecteurs)
SoientM,N etP trois points du plan ou de l'espace.
1. −−→
M N+−−→
N P =−−→
M P (relation de Chasles).
2. −−−→ M M=−→
0. 3. −−→
M N =−−−→
N M.
Propriété :(sur les coordonnées)
1. Dans le plan : Si M(xM, yM) etN(xN, yn) sont deux points du plan alors −−→
M N a pour coordonnées(xN −xM, yN −yM).
2. Dans l'espace : Si M(xM, yM, zM) et N(xN, yN, zN) sont deux points de l'espace alors
−−→M N a pour coordonnées(xN −xM, yN −yM, zN −zM). 1.2 Déterminant de deux vecteurs
Dénition :Soitu = (u1, u2) etv= (v1, v2) deux vecteurs du plan. Le déterminant de uet v, notédet(u, v) est le réel déni pardet(u, v) =u1v2−u2v1
Remarque :Cette dénition est compatible avec la dénition du déterminant pour les matrice carrées d'ordre 2. Le déterminant de deux vecteurs du plan est égal au déterminant de la matrice de ces vecteurs exprimés dans la base canonique.
Propriété :Deux vecteurs u, v du plan sont colinéaires ssidet(u, v) = 0 1.3 Produit scalaire
On se place dans le plan muni d'un repère (O,−→ i ,−→
j) ou dans l'espace muni d'un repère (O,−→
i ,−→ j ,−→
k).
Dans la suite nvaut 2 ou 3.
Dénition :Soient −→u(u1, ..., un) et−→v(v1, ..., vn) deux vecteurs. Le produit scalaire de −→u et
−
→v est le réel déni par : h−→u ,−→vi=u1v1+...+unvn. Remarque :
On note aussi −→u .−→v le produit scalaire.
On a en particulier ∀−→u ,h−→u ,−→ 0i= 0.
Propriété :Pour tout (−→u ,−→v ,−→w)et tout λ∈R.
1. h−→u ,−→vi=h−→v ,−→ui (symétrie)
2. h−→u ,(−→v +λ−→w)i=h−→u ,−→vi+λh−→u ,−→wi
h(−→u +λ−→v),−→wi=h−→u ,−→wi+λh−→v ,−→wi (bilinéarité).
3. h−→u ,−→ui ≥0 eth−→u ,−→ui= 0 si et seulement si−→u =−→
0 (positivité).
1.4 Norme
Dénition :La norme (euclidienne) du vecteur−→u est donnée par k−→uk=
q
h−→u ,−→ui=p
u12+...+un2
Propriété :k−→u +−→vk2 =k−→uk2+k−→vk2+ 2h−→u ,−→vi Propriété :(inégalité de Cauchy Schwarz)
Pour tous vecteurs−→u,−→v, on a
|h−→u ,−→vi| ≤ k−→ukk−→vk
L'inégalité est vériée si et seulement si les vecteurs−→u et−→v sont colinéaires et de même sens Propriété :(de la norme)
Pour tous vecteurs−→u et−→v et tout réelλon a : 1. k−→uk ≥0.
2. k−→uk= 0 si et seulement si−→u est le vecteur nul.
3. kλ−→uk=|λ|k−→uk
4. k−→u +−→vk ≤ k−→uk+k−→v
Dénition :La distance entre deux pointsA etB est égale à la norme du vecteur k−−→ ABk. 1.5 Angle entre deux vecteurs, vecteurs orthogonaux
Dénition :Soient −→u et−→v deux vecteur.
Il existe un unique réelϕ∈[|0;π|]tel queh−→u ,−→vi=k−→ukk−→vkcos(ϕ). Ce réel s'appelle l'angle (non orienté) des vecteurs−→u et−→v.
Dénition :
1. On dit que deux vecteurs−→u et−→v sont orthogonaux lorsqueh−→u ,−→vi= 0.
2. Un vecteur−→u est dit normé ou unitaire sik−→uk= 1.
3. Une famille (−→u1, ...,−u→n) est orthonormée ou orthonormale si pour tout (i, j) ∈ [|1;n|],
−
→ui.−→uj =
0 sii6=j 1sinon
4. Un repère est orthonormé si la base qui le compose est une famille de vecteurs orthonor- male.
1.6 Projection orthogonale Dénition :
Soit Dune droite du plan, et A un point du plan.
1. Il existe un unique pointH de la droite D tel que−−→
AH est orthogonal àD.
On dit que H est le projeté orthogonal de A sur la droite D. L'application du plan dans lui-même qui à un point associe sont projeté orthogonal surDest appelé projection orthogonale sur la droiteD.
2. Pour toutN surD,k−−→
ANk ≥ k−−→
AHk. Le minimum est atteint enH.
la distance d'un pointAà une droiteD du plan, notéed(A, D), est égale à ce minimum.
Soit A un point du plan, D une droite du plan de vecteur directeur −→
d et passant par M. Alors−−→
M H =h−−→
M A.−→ di−→
d Dénition :
Soit P un plan de l'espace, passant parM et de base(−→u ,−→v). SoitA un point de l'espace.
1. Il existe un unique pointH du plan P tel que −−→
AH.−→u = 0 et−−→
AH.v= 0.
On dit que H est le projeté orthogonal de A sur le plan P. L'application de l'espace dans lui-même qui à un point associe sont projeté orthogonal surP est appelé projection orthogonale sur le planP.
2. Pour toutN dans le plan,k−−→
ANk ≥ k−−→
AHk. Le minimum est atteint enH. la distance d'un pointA à un planP de l'espace, notée d(A, P), est égale à ce minimum.
II. Droites, plans, cercles, sphères 2.1 Généralités sur les droites Dénition :
Une partie non vide du plan ou de l'espace est une droite si et seulement si il existe un vecteur non nul−→u tel queD={M,∃t∈R,−−→
AM =t−→u}.
Le vecteur −→u est appelé vecteur directeur de la droiteD. La droite vectorielle V ect(−→u) est la direction deD.
Dénition :On dit que deux droites sont parallèles lorsqu'elles ont un vecteur directeur en commun. Si de plus elles possèdent au moins un point commun, on dit que les droites sont confondues.
2.2 Droites et cercles dans le plan
Propriété :(représentation paramétrique d'une droite)
Soit A(xA, yA) un point du plan P et −→u(a, b) un vecteur non nul du plan. On note D la droite passant parA et de vecteur directeur−→u. Alors
M(x, y)∈D⇔ ∃t∈R, x=xA+ta, y=yA+tb
Réciproquement si α, β, a, b sont quatres réels avec a et b non simultanément nuls alors l'ensemble des pointsM de coordonnées(α+ta;β+tb)quandtdécritRest une droite du plan, passant par le point de coordonnées(α, β)et de vecteur directeur −→u(a, b).
Dénition :On se place dans le plan muni d'un repère quelconque. Soit D une droite de vecteur directeur −→u(x, y). Si x 6= 0, le coecient directeur de D est le réel yx. Si le repère est orthonormé, le coecient directeur s'appelle également la pente.
Dénition :On se place dans le plan muni d'un repère quelconque. Soit D une droite de vecteur directeur−→u(x, y). On appelle vecteur normal àDtout vecteur orthogonal à −→u.
Propriété :
Soit−→v un vecteur non nul etAun point du plan. L'ensembleE ={M ∈ P,−→v .−−→
AM = 0}est une droite dont−→v est un vecteur normal.
Réciproquement, pour toute droite D, il existe un pointA et un vecteur−→v non nul tel que D={M ∈ P,−→v .−−→
AM = 0}.
Propriété :(équation cartésienne de droites dans le plan)
Soit D une droite passant par A et de vecteur directeur −→u. Il existe alors trois réels a, b, c avec a et b non tous nuls tel que D = {M(x, y) ∈ P, ax+by+c = 0}. Réciproquement, pour tout (a, b, c) ∈ R3 avec (a, b) 6= (0,0), l'ensemble D ={M(x, y) ∈ P, ax+by+c = 0} est une droite.
L'équationax+by+c= 0 est appelée équation de droite dans le plan.
Propriété :SoitD une droite verticale (c'est à dire non dirigée par le vecteur−→
j. Alors elle admet une unique équation de la formey=mx+p.m est la pente de D.
Propriété :(distance d'un point à une droite)
SoientD:ax+by+c= 0 une droite du plan et M(x, y) un point. Alors d(M, D) =|ax+by+c|
√ a2+b2
Dénition :SoitA un point du plan etr un réel positif. Le cercleC de centre aet de rayon r est l'ensemble des points à distance r de A, c'est à direC={M ∈P,kAMk=r}.
Dénition :Soit a, b et p trois réels. L'ensemble des points M(x, y) du plan qui vérient l'équationx2+y2−2ax−2by+p= 0 est l'équation d'un cercle si a2+b2−pest positif et vide sinon.
2.3 Droites, plans dans l'espace
Propriété :(représentation paramétrique d'une droite)
Soit A(xA, yA, zA) un point de l'espace E et−→u(a, b, c) un vecteur non nul deE. On note D la droite passant parA et de vecteur directeur−→u. Alors
M(x, y, z)∈D⇔ ∃t∈Rx=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc
Réciproquement si α, β, γ, a, b, c sont six réels avec a, b et c non simultanément nuls alors l'ensemble des points M de coordonnées (α+ta;β+tb;γ +tc) quand tdécritR est une droite de l'espace, passant par le point de coordonnées(α, β, γ) et de vecteur directeur−→u(a, b, c).
Dénition :On dit qu'une partie P de l'espace est un plan si et seulement si il existe une famille libre (−→u ,−→v) de vecteurs et un point A de l'espace tels que P = {M ∈ E,∃(t, t0) ∈ R2,−−→
AM =t−→u +t0−→v}.
P est le plan passant parA et engendré par −→u et−→v. V ect(−→u ,−→v) est la direction du plan.
Propriété :(représentation paramétrique d'un plan)
SoitA(xA, yA, zA)un point de l'espace et−→u(a, b, c)et−→v(a0, b0, c0)deux vecteurs indépendants de l'espace. soit P le plan passant par A et engendré par −→u et −→v. Alors un point M(x, y, z) appartient au plan P si et seulement si il existet ett0 tels que
x=xA+ta+t0a0 y =yA+tb+t0b0 z=zA+tc+t0c0 Réciproquement un tel système permet de dénir un plan de l'espace.
Propriété :(équation cartésienne d'un plan)
Soit −→w est un vecteur non nul de l'espace et A un point de l'espace. Alors l'ensemble des points M tels que−−→
AM .−→w = 0 est un plan dont −→w est un vecteur normal.
Propriété :Soit P un plan de E. Il existe (a, b, c, d) quatre réels avec a, b,c non tous nuls tels queM(x, y, z) est un point deP si et seulement siax+by+cz+d= 0.
Réciproquement si (a, b, c) sont trois réels non tous nuls, l'ensemble des points M(x, y, z) vériantax+by+cz+d= 0est un plan.
Propriété :SoitP un plan de l'espace d'équationax+by+cz+d= 0 et soitM(x, y, z) un point de l'espace. Alors
d(M, P) = |ax+by+cz+d|
√
a2+b2+c2 Barycentre
Dénition :Soientp points A1, ...Ap du plan ou de l'espace. et p réelsλ1, ...λp qui vérient λ1+...+λ6= 0.
Il existe un unique point Gtel que
p
X
k=1
λk−−→
GAk =−→ 0.
Gest le barycentre des pointsA1, ..., Ap aectés des poids λ1, ...λp.
Propriété :SoitGle barycentre du système(A1, λ1);...; (Ap, λp)alors pour tout pointM on a−−→
M G= λ λ1
1+...+λp
−−−→M A1+...+ λ λp
1+...+λp
−−−→M Ap.
