Le Produit scalaire - Résumé 2 PDF

Résumé : Produit scalaire.

Notation : On notera P le plan et ´

O;ÝÑi;ÝÑj¯

un repère orthonormé du pan. Dans l’ensemble de ce chapitre on se situera dans ce plan. On choisitI et J de sorte que ÝÑ

OI “ÝÑi etÝÑ OJ “ÝÑj.

Soit A, B et C trois points du plan (A et B distincts). Soit H l’intersection de la droite (AB) de la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C. Le point H est appelé le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). Dés lors le produit scalaire deÝÝÑ

AB avec ÝÑ

AC est définie par : ÝÝÑAB¨ÝÑAC “ABˆAH “

"

ABˆAH siAB etAH de même signe.

´ABˆAH si AB etAH de signe différent.

si AB etAH de même signe.

A B

C

H

siAB etAH de signe différent.

A B

C

H

Si l’on a ÝÑu “ÝÝÑAB etÝÑv “ÝÑAC deux vecteurs du plan, alors ÝÑu ¨ ÝÑv “ÝÝÑAB¨ÝÑAC.

Soit ÝÑu etÝÑv deux vecteurs du plan. Si l’un des vecteurs est nul alorsÝÑu ¨ ÝÑv “ÝÑ0 . Sinon : Ý

Ñu ¨ ÝÑv “kÝÑukˆkÝÑvkˆcospÝÑu;ÝÑvq Ou dans un triangle ABC, on a :

ÝÝÑAB¨ÝÑAC “ÝÝÑABˆ ÝÑACˆcos´ÝÝÑAB;ÝÑAC¯ loooooooooooooomoooooooooooooon

“˘AHsuivant que l’angle soit obtus ou aigu

Ý

Ñu ¨ ÝÑv “ 1 2

´kÝÑuk²`kÝÑvk²´ ||ÝÑv ´ ÝÑu||²¯

“ 1 2

´

||ÝÑv ` ÝÑu||²´kÝÑuk²´kÝÑvk²¯

“ 1 4

`||ÝÑv ` ÝÑu||²´ ||ÝÑv ´ ÝÑu||²˘

Soient deux vecteurs ~u: ˆx

y

˙ et~v:

ˆx¹ y¹

˙

. On a :

~

u¨~v“xx¹`yy¹ Définition-Proposition 1

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Soient ÝÑu,ÝÑv etÝÑw trois vecteurs du plan etλetµ deux réels. On a :

• Alors ÝÑu ¨ ÝÑu “kÝÑuk²ě0 avec égalité siÝÑu “ÝÑ0

• ÝÑu ¨ ÝÑv “ ÝÑv ¨ ÝÑu

• ÝÑu ¨ pλÝÑv `µÝÑwq “λÝÑu ¨ ÝÑv `µÝÑu ¨ ÝÑw donc pλÝÑv `µÝÑwq ¨ ÝÑu “λÝÑv ¨ ÝÑu `µÝÑw¨ ÝÑu D’où les identités remarquables :

• pÝÑu ` ÝÑvq<sup>2</sup>“ ÝÑu<sup>2</sup>`2ÝÑu ¨ ÝÑv ` ÝÑv²

• pÝÑu ´ ÝÑvq²“ ÝÑu²´2ÝÑu ¨ ÝÑv ` ÝÑv²

• pÝÑu ` ÝÑvq ¨ pÝÑu ´ ÝÑvq “ ÝÑu²´ ÝÑv² Proposition 2 (Propriétés algébriques du produit scalaire et conséquences)

Soient A et B deux points de P. L’ensemble des points M de P, vérifiant : ÝÝÑ M A¨ÝÝÑ

M B “0 est le cercle de diamètre rABs.

Proposition 3

Dans un triangle ABC, avec I milieu de rBCs:

• Théorème de la médiane: AB²`AC² “AI²´ BC²

4

• ÝÝÑ AB¨ÝÑ

AC“ 1 2

`AB<sup>2</sup>`AC²´BC²˘

• Théorème dit d’Al-Kachi: BC² “AB²`AC²´2ÝÝÑAB¨ÝÑAC

“AB²`AC²´2ABˆACcosAp

• l’aire : S “ 1

2ABˆACsinAp

• BC

sinAp “ AC

sinBp “ AB sinCp

• AB²`AC<sup>2</sup> “2AI<sup>2</sup>` 1 2BC²

A p A

B C

I Cp

Bp Théorème 4(Relations métriques dans le triangle)

soient aetb deux réels, alors :

• cospa´bq “cosacosb`sinasinb

• cospa`bq “cosacosb´sinasinb

• sinpa´bq “sinacosb´cosasinb

• sinpa`bq “sinacosb`cosasinb

‚ cos 2a“cos²a´1“2 cos²a´1“1´2 sin²a ‚ sin 2a“2 cosasina Proposition 5 (Certaines formules trigonométriques.)

Exercice 1. Déterminer le produit scalaire dans les cas suivant : a) Si}u} “2

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