mathsbdp.fr chap3 Géométrie 2

mathsbdp.fr chap3 Géométrie 2^nde

① Rappels

• Configurations usuelles

Définition&propriété

La médiatrice d’un segment est la droite passant par le milieu de ce segment et qui lui est perpendiculaire.

La médiatrice 𝑑 d’un segment est l’ensemble des points équidistants de A et de B.

Autrement dit, un point M appartient à 𝑑 si et seulement(⇔ ) si 𝑀𝐴 = 𝑀𝐵

Théorème de Pythagore et sa réciproque Un triangle ABC est rectangle en A

si et seulement(⇔ ) 𝐵𝐶² = 𝐴𝐵²+ 𝐴𝐶²

Méthode pour montrer qu'un triangle est rectangle avec les longueurs.

➢ On calcule le carré de la longueur du plus long côté ;

➢ On calcule la somme des carrés des deux autres côtés ;

➢ On compare le plus grand carré à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

➢ Si on a l'égalité, on écrit la relation avec les carrés, puis

" d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ... est rectangle en ...".

Si on n'a pas d'égalité, on écrit

" le triangle ... n'est pas rectangle."

Il s’agit de la contraposée du théorème de Pythagore.

Exemple.

on donne 𝐴𝐵 = 8 ; 𝐵𝐶 = 6 et 𝐴𝐶 = 10 Le triangle ABC est-il rectangle ?

• 𝐴𝐶² = ⋯

• 𝐵𝐶² + 𝐴𝐵² = ⋯

• On a 𝐴𝐶² = ⋯

donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Tangente à un cercle

Déf. 𝒞 est un cercle de centre O et A est un point de 𝒞

La tangente au cercle 𝒞 en A est la droite perpendiculaire en A à la droite (𝑂𝐴)

Remarque : La tangente en un point à un cercle coupe celui-ci en un seul point.

Théorème de Thalès et sa réciproque

(𝐵𝐶) et (𝐶𝑁) sont deux droites sécantes en un point A.

• Si les droites (𝑀𝑁) et (𝐵𝐶) sont parallèles, alors

𝐴𝑀 𝐴𝐵 = ^𝐴𝑁

𝐴𝐶 = ^𝑀𝑁

𝐵𝐶

• Réciproquement si ^𝐴𝑀

𝐴𝐵 =^𝐴𝑁

𝐴𝐶 et si les points A, M, B

d’une part et A, N, C d’autre part sont dans le même ordre, alors (𝑀𝑁) et (𝐵𝐶) sont parallèles.

② Projeté orthogonal d’un point sur une droite

Définition. Le projeté orthogonal d’un point M sur une droite ∆ est le point H tel que ∆ et (𝑀𝐻) sont perpendiculaires.

Remarque. Lorsque le point M appartient

à la droite ∆, le projeté de M sur ∆ est confondu avec M.

Propriété. Le projeté orthogonal du point M sur une droite ∆ est le point de la droite ∆ le plus proche de M. Pour tout point A de ∆ distinct de H,

𝑴𝑯 < 𝑴𝑨

On dit que 𝑀𝐻 est la distance du point M à la droite ∆.

Démonstration. Soit ∆ une droite du plan et M un point.

On note H le projeté orthogonal de M sur ∆.

1^er cas. Si M appartient à ∆, alors M est confondu avec H donc MH=0.

Si A est un point de ∆ distinct de M, alors 𝑀𝐴 ≠ 0, donc 𝑀𝐴 > 0, soit 𝑀𝐴 > 𝑀𝐻

2^e cas. Si M n’appartient pas à ∆.

Soit A un point de ∆ distinct de H. Le triangle MHA est rectangle en H.

Dans le triangle MHA rectangle en H, on a d’après le théorème de Pythagore,

𝑀𝐴²= 𝑀𝐻²+ 𝐴𝐻² ; comme H et A sont deux points distincts, AH>0 donc 𝐴𝐻²> 0 et 𝑀𝐴²> 𝑀𝐻² donc 𝑀𝐴 > 𝑀𝐻

Dans tous les cas, H est le point de la droite ∆ le plus proche du point M.

H est le point de ∆ le plus proche de M

③ trigonométrie : sinus, cosinus, tangente d’un angle aigu Dans un triangle ABC rectangle en A, on a :

cos 𝐵̂ =

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

=

𝐵𝐶

sin 𝐵̂ =

ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡é𝑛𝑢𝑠𝑒

=

𝐵𝐶

tan 𝐵̂ =

𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡

=

𝐴𝐵

Propriétés.

• Les angles aigus dans un triangle rectangle sont complémentaires, c’est-à-dire : 𝛼 + 𝜃 = 90°

• cos(𝛼) =

𝑏

sin(𝛼) =

𝑏

tan(𝛼) =

𝑐

• 0 ≤ cos( 𝛼) ≤ 1 • 0 ≤ sin( 𝛼) ≤ 1

• (cos(𝛼))

+ (sin(𝛼))

= 1 que l’on écrit : cos

(𝛼) + sin

(𝛼) = 1

1) ABC et ABD sont les triangles rectangles représentés ci-contre.

a) Calculer la longueur BC en cm ( arrondir au dixième ).

b) Déterminer la mesure de l’angle 𝐴𝐵𝐷̂ ( arrondir à l’unité )

2) Utiliser une formule trigonométrique

ABC est un triangle rectangle en A tel que sin(𝐴𝐵𝐶̂) = 0,6 Déterminer la valeur exacte de cos(𝐴𝐵𝐶̂).

𝐵̂

hypoténuse

adjacent de 𝐵̂

opposé de 𝐵̂

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4 Questions FLASH projeté orthogonal

Ex1. Dans chaque cas, une proposition est exacte à propos de cette figure. Laquelle ? a) Le projeté orthogonal de C sur la droite (AE) est le point

① A ② B ③ C

b) B est le projeté orthogonal du point :

① A sur (CD) ② C sur (BC) ③ D sur (AC)

c) E est le projeté orthogonal du point :

① A sur (AD) ② D sur (AE) ③ B sur (AE)

Ex2. Sur cette figure la droite 𝑑 est tangente en M au cercle 𝒞 de centre A.

Sofia : « A est le projeté orthogonal de M sur d. » A-elle raison ?

Ex3.

Un robot R se déplace sur un quadrillage à mailles carrées.

Voici la copie d’un écran.

Les points B et C sont les projetés orthogonaux de R sur les droites respectives (AB) et (AC).

Le robot se trouve-t-il à même distance

des droites (AB) et (AC) ? Justifier en calculant la distance du robot à chacune des deux droites

Ex4. a) Calculer l’aire du triangle ABC.

b) Calculer la longueur RK