Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page 1 sur 15
Chapitre 26 : Distance, bissectrice et cercle inscrit
a. 4
ème: [Pas dans le socle commun] savoir où est situé le point d’une droite le plus proche d’un point donné.
b. 4
ème: [Abordable en 6
ème] connaître et utiliser la définition de la bissectrice.
c. 4
ème: [Pas dans le socle commun] savoir construire la bissectrice d’un angle.
d. 4
ème: [Pas dans le socle commun] savoir et utiliser la propriété d’équidistance des points de la bissectrice.
e. 4
ème: [Pas dans le socle commun] savoir construire le cercle inscrit dans un triangle.
Exercice n°1 (Source Sésamath) – Introduction au cours n°1 – Indispensable pour compléter le cours - Trouve le plus court chemin
1. Conjecture
a. De la rive gauche d'un fleuve, Alexia crie à Hamid qui est assis de l'autre côté du
fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop éloigné d'elle, Hamid l'entend très mal. Reproduis le schéma ci-contre en plaçant Hamid (représenté par le point H) sur la rive droite au plus près d'Alexia, à l’aide d’instrument de géométrie.
b. Explique précisément comment tu as placé le point H sur ton schéma.
2. Démonstration et définition
a. Sur le schéma précédent où H est placé comme indiqué à la question 1., place sur la rive droite un point L distinct de H.
Quelle est la nature du triangle AHL ?
b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AH] et [AL] ? Justifie.
c. Recopie et complète les phrases suivantes :
« La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH] où H est le pied de la ... relative à ... passant par ... . C'est la plus courte des distances entre ... et ... . ».
A
H rive ga uch e
rive dr oite
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Cours n°1
Cours à compléter , à montrer au professeur puis, s’il est validé, à recopier
intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier
Chapitre 26 : Distance d’un point à une droite, bissectrice et cercle inscrit
I) Distance d’un point à une droite Définition n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance ……… qui sépare ce point
A des points de la droite (d) . Propriété n°1 :
La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH , où H est le point d’intersection de (d) avec la p………. à (d) passant par ………
Exemple n°1
Fin du Cours n°1
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S
AH est la distance de A à
(d) .
Placez H sur la figure
SFSF
(d)
A
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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°1
Exercice n°2 (Source : Sésamath) Observe, recopie et complète :
a. La distance du point S à la droite (LT) est ... .
b. La distance du point T à la droite ...
est 6 cm.
c. Le point ... est situé à 10,5 cm de la droite ... . d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).
e. La distance du point E à la droite (NR) est comprise entre ... et ... . Exercice n°3 (Source : Sésamath)
a. Sur ton cahier, trace deux
droites (m) et (d) ainsi qu'un point P, comme sur le dessin.
b. Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner mais il doit
d'abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents.
Représente sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter afin de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brûlant par les rayons du Soleil.
Exercice n°4 (Source : Sésamath)
1. Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.
2. Place trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (MN) et tels que les triangles MNS, MNT et MNU soient respectivement rectangle, quelconque et isocèle.
3. Calcule l'aire de chacun de ces triangles.
6 c m L
S T
8 c m 10 cm
6 c m
F R
N E
10,5 cm 13,5 cm
(m)
(d) P
(d)
AH est la distance de A à
(d) .
Placez H sur la figure
A
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Exercice n°5 (Source : Sésamath)
Un point M étant donné, construis trois droites (d
1), (d
2) et (d
3) telles que M soit situé à 4 cm de chacune d'entre elles.
Exercice n°6 (Source : Sésamath)
Calcule la distance du point H à la droite (KC) sachant que
l'aire du triangle CHK vaut 7,2 cm². C
K
H
4,8 cm
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En cas de « trou de mémoire », on peut rechercher la définition de bissectrice sur internet.
Cours n°2
Cours à compléter , à montrer au professeur puis, s’il est validé, à
recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier I) Bissectrice d’un angle
Définition n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle \s\up4(dest l’axe de ……… de cet angle.
Propriété n°2 :
La bissectrice (b) d’un angle \s\up4(dest la droite qui partage cet angle en ………
……….. ……… ………. ……….
Démonstration :
Données :
On considère que (OB) est la bissectrice de l’angle \s\up4(a.
Exemple n°2
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S
On sait que : (OB) est la …………... de
\s\up4(a.
Donc, d’après la définition, (OB) est
……….. ………. …… ……….. l’angle
\s\up4(a.
Donc \s\up4(a est le ………. de l’angle \s\up4(a.
Or le ……… d’un angle est un angle de ………. ………..
Donc \s\up4(a=………….
Construisez la bissectrice (b) de l’angle \s\up4(a :
1. Tracez un cercle de centre O. Il coupe les côtés de l’angle en deux points.
2. Tracez deux autres cercles, de centre chacun de ces points, de même rayon. Ils se recoupent en O
A B
C
B O
A
SFSF
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propriété n°3 :
Tout point de la bissectrice est à é………….. d………. des c……….. de l’angle.
Fin du Cours n°2
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
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Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°3
Exercice n°7
Découpe et remets dans l’ordre cette démonstration :
t. On sait que (CA) est la bissectrice de \s\up4(a.
A
B C
D u. Or la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.
a. Donc [BC] est le symétrique de [DC]
s. Or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.
t. Donc BC = DC .
r. On sait que ( BC) et (AB) sont perpendiculaires.
u. Donc, BC est la distance de C à la droite (AB) . é. De même, DC est la distance de C à la droite (AD) .
A B
D C
Construisez la bissectrice (b) de l’angle \s\up4(a :
SF
B O
A
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o. Or la distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment joignant A à H, H étant le pied de la perpendiculaire à
!. Donc C est à égale distance des droites (AB) et (AD ).
On a démontré que tout point de la bissectrice est à égale
distance des côtés de l’angle qu’elle sépare.
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Exercice n°8
Pour chacune des six figures ci-dessous, indique si la demi-droite [Oy) est la bissectrice de l'angle\s\up4(a. Justifie tes réponses quand c’est le cas en citant la propriété ou définition.
Exercice n°9
Sur la figure ci-contre, [AC) est la bissectrice de \s\up4(a, et BC vaut 4,2 cm.
Combien vaut DC ? Justifiez votre réponse en le démontrant.
Exercice n°10
Sur la figure ci-contre, la droite (AR) est la bissectrice de l'angle\s\up4(a.
Démontre que le triangle FER est isocèle en R.
Exercice n°11
1. Sur ton cahier, trace un grand triangle DEF puis les bissectrices des angles \s\up4(a et \s\up4(a qui se coupent en O.
2. Démontre que O est équidistant des trois côtés du triangle DEF.
3. Comment tracer la bissectrice de \s\up4(a en n'utilisant que ta règle non graduée ? Justifie.
Exercice n°12
Observe le dessin à main levée ci-contre.
Démontre que le point U est équidistant des droites (RS) et (RT).
Exercice n°13
O
t
z y fig.1
O
t
z y fig.2
O
t
z y fig.3
O
t
z y fig.5
R
@o p tio n s;
@fig u r e ; A = p o in t( - 7 .2 , 6 .8 7 ) { (0 .2 3 ,- 0 .8 ) } ;B = p o in t( -7 .0 3 , 0 .7 7 ) { i } ; C = p o in t( -5 , 6 .3 7 ) { i } ;
A
E
F
R
S
T U
A B
C
D
I
30 ° 25 °
30°
70°
U
M R
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1. Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle \s\up4(a
2. Que représente le point I pour le triangle MUR ? Justifie.
3. Déduis-en les mesures des angles \s\up4(aet \s\up4(a.
4. Combien vaut \s\up4(a ? Justifie.
Cours n°3
Cours à compléter , à montrer au professeur puis, s’il est validé, à
recopier intégralement dans le cahier de cours, sans rien oublier définition n°3 :
On appelle cercle inscrit d’un triangle le cercle dont le centre est à l’intersection des bissectrices, et tel que les trois côtés sont des tangentes à ce cercle.
Exemple n°4
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S
Construisez le cercle inscrit au triangle ci-contre.
A
B
C
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page 11 sur 15
Fin du cours n°3
Apprentissage du cours
Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».
COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES.
Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! ) Contrôle du savoir faire
Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.
Exemple n°4
Construisez le cercle inscrit au triangle ci-contre.
A
B
C
A
B C
K
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page 12 sur 15
Exercice n°14
Dans chaque cas, construis le triangle ABC puis son cercle inscrit.
a. AC = 8 cm, \s\up4(a = 60° et \s\up4(a = 50°.
b. AC = 10 cm, AB = 8 cm et \s\up4(a = 45°.
c. ABC est isocèle en A tel que AB = 9 cm et BC = 6 cm.
d. ABC est un triangle équilatéral de côté 7,5 cm.
Exercice n°15
Trace un triangle dont le cercle inscrit a un rayon de 2,7 cm. Explique ta méthode.
Exercice n°16
1. Trace un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm et
\s\up4(a = 30°.
2. Trace les bissectrices des angles \s\up4(a et \s\up4(a.
3. On appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Calcule, dans cet ordre, les angles \s\up4(a, \s\up4(a, \s\up4(aet \s\up4(a.
Exercice n°17
Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle isocèle en A et K est le milieu de [BC].
a. Rappelle la définition d'une médiane dans un triangle. La droite (AK) est-elle une médiane de ABC ? Justifie.
b. Rappelle la définition de la médiatrice d'un segment. La droite (AK) est-elle la médiatrice du segment [BC] ?
Justifie.
c. Rappelle la définition d'une hauteur dans un triangle. La droite (AK) est-elle une hauteur de ABC ? Justifie.
d. La droite (AK) est-elle la bissectrice issue de A dans le triangle ABC ? Justifie.
e. Dans un triangle isocèle, que dire de la droite passant par le sommet principal et par le milieu de la base ?
Exercice n°18
Reproduis une figure analogue à la figure ci- contre puis construis le point C tel que P soit le centre du cercle inscrit au triangle ABC.
P A
B
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Résultats et indications
Ex.1 :1.a. Mesurer… b. fais une phrase avec sujet, verbe et complément . 2.a. isocèle,
équilatéral, rectangle ? b. Il y en a une forcément plus grande que l’autre. Ex.2 : a. Choisi entre 8 et 10. b.Choisi entre (SL) et (ST). c. Choisi entre R et F…d. E… e.10,5 et… Ex.3 : des
perpendiculaires à (d) et (m) passant par ….Ex.4 :1. et 2. :
3.Aire d’un triangle : Ex.5 : et un cercle de rayon 4 cm, de centre M ? Ex.6 : 3. Ex.7 Début : on sait que (CA) est… - Or…… - Donc … Fin : donc C est à égale distance… Quand l’ordre est correct, cela fait une phrase.,Ex.8 : Oui, oui, non, oui. Ex.9 : Utiliser la propriété 3. Ex.10 : R est sur la bissectrice de EAF, donc à égale distance de … Ex.11 : 3. En traçant [EO) : O est sur la bissectrice de …., donc à égale distance des côtés … O est sur la bissectrice de …., donc à égale distance des côtés. Donc O est à égale distance…. Donc O est sur la
bissectrice de ….Ex.12 : RU est une …Ex.13 :1. Somme des angles dans MRU.2.
\s\up4(a= \s\up4(a et \s\up4(a=\s\up4(a, donc I est le point d’intersection des…, 3. \s\up4(a=35° 4. \s\up4(a=120° Ex.14 :
M N
S T U
B
C
A
B
A C
45°
8 cm
10 cm
B
A
C
A B
C
Quatrième – Chapitre n°26 : Distance, Bissectrices et cercle inscrit - Page 14 sur 15
Ex.15 :T racer …le cercle d’abord !Ex.16 :
A
B C
I
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Ex.17 : a. Oui b. Oui (car le triangle est …) c. Oui (car le triangle …) d.
Oui Ex.18 : commence par tracer la perpendiculaire à (AB) passant par P, puis le cercle de centre P…
P A
B
