Soit Q le deuxième point commun aux deux cercles. Les droites QD et QE coupent respectivement PB et PC en R et S. Nous allons montrer que RS est parallèle à BC et DG. Il en résultera, d'après le théorème de Desargues appliqué aux triangles RBD et SCE que les points A, Q et P sont alignés. La droite AP sera alors confondue avec l'axe radical des deux cercles, donc perpendiculaire à la ligne des centres.
Dans le cercle PDG, on a l'égalité d'angles inscrits : (DG, DQ) = (PG, PQ) et dans le cercle PEF : (FE, FP) = (QE, QP). Les triangles RFD et SQP sont donc semblables, si bien que les angles (RP, RQ) et (SP, SQ) sont égaux. Ainsi le quadrilatère SPQR est inscriptible et (RS, RP) = (QS, QP).
Comme (QS, QP) = (QE, QP) = (FE, FP), les droites RS et DG sont parallèles.
