a les deux angles ABI et DCI  b les deux angles AIE et GIA  c les deux angles DIG et FID Le décompte des angles dans les différents triangles donne

D2909 – Demi-cercle inscrit dans un quadrilatère Problème proposé par David Draï

Le quadrilatère est tel que le milieu de [ ] est le centre d’un demi-cercle tangent aux trois côtés [ ], [ ] et [ ]. Exprimer la longueur en fonction de et .

Solution proposée par Patrick Gordon

Le centre du demi-cercle étant le milieu I de [ ], les droites [ ] et [ ] se coupent en un point Q sur la médiatrice de [ ] et le triangle QBC est isocèle.

Montrons tout d'abord que les triangles ABI et ICD sont semblables (dans cet ordre de correspondance de leurs sommets).

Notons :

 a les deux angles ABI et DCI

 b les deux angles AIE et GIA

 c les deux angles DIG et FID

Le décompte des angles dans les différents triangles donne :

 dans le triangle ABI

 angle en A 90 – b

 angle en B a

 angle en I 90 – a + b

 dans le triangle ICD

 angle en I 90 – a + c

 angle en C a

 angle en D 90 – c

Puis, l'égalité à 180 de la somme des 6 angles en I donne : c = a – b

Les angles du triangle ICD valent donc :

 angle en I 90 – b

 angle en C a

 angle en D 90 – a + b

c’est-à-dire les angles respectivement en A, B, I du triangle ABI.

Les triangles ABI et ICD sont donc semblables (dans cet ordre de correspondance de leurs sommets).

Il en résulte que :

BI / AB = CD/ IC.

Donc BI² = AB.CD, soit : BC² = 4AB.CD.