D1830 ‒ En concordance de phase [***à la main]
Soit un triangle ABC ayant H pour orthocentre, I pour centre du cercle inscrit, G pour centre de gravité et O pour centre du cercle circonscrit.
On désigne par:
- Ha et Hb les pieds des hauteurs issues de A et de B sur les droites BC et CA, - Ia et Ib les pieds des bissectrices issues de A et de B sur ces mêmes droites, - Ga et Gb les milieux des côtés BC et CA,
On trace le point La sur la droite BC tel que la droite ALa est symétrique de AGa par rapport à AIa puis le point Lb sur la droite CA tel que la droite BLb est symétrique de BGb par rapport à BIb.
Q₁ Démontrer que les points I,La et Lb sont alignés si et seulement si les points G,Ia et Ib sont également alignés.
Q₂ Démontrer que les points I,Ha et Hb sont alignés si et seulement si les points O, Ia et Ib sont également alignés.
Solution
Q₁ La résolution la plus simple passe par les coordonnées barycentriques.
Les droites AP et BQ sont les conjuguées isogonales des médianes AM et BN. Elles se coupent au point de Lemoine L,conjugué isogonal du centre de gravité G.
On désigne par a,b et c les longueurs des côtés BC,CA et AB du triangle ABC.
Les coordonnées barycentriques des points I,G et L sont respectivement:
I: (a,b,c) G: (1,1,1) et L(a²,b²,c²).
Les coordonnées barycentriques des points Ia ,Ib ,La et Lb sont respectivement:
Ia : (0,b,c) Ib: (a,0,c) La : (0,b²,c²) et Lb : (a²,0,c²)
Les points I,La et Lb d'une part G,Ia et Ib d'autre part sont alignés si et seulement si les deux déterminants établis avec les coordonnées de ce points sont nuls:
0 c c 1
0 b 1
a 0 1
qui donne ‒ ab + bc + ac = 0 d'un côté
et 0 c c c
0 b b
a 0 a
2 2
2 2
qui donne abc(‒ ab + bc + ac) = 0 de l'autre.Cqfd
Q₂
En posant X = ‒ a² + b² + c²,Y = a² ‒ b² + c² et Z = a² + b² ‒ c²,les coordonnées barycentriques de H et de O sont respectivement
H : (ZY,XZ,XY) et H(a²X,b²Y,c²Z).
D'où les coordonnées barycentriques de Ha (0,XZ,XY) et de Hb: (ZY,0,XY) Les points I,Ha et Hb sont alignés si le déterminant ci-après est nul:
0 XY XY c
0 XZ b
ZY 0 a
soit aX²YZ + bxY²Z ‒ cXYZ² = XYZ(aX + bY ‒ cZ) = 0 Les points O, Ia et Ib sont alignés si le déterminant ci-après est nul:
0 c c Z c
0 b Y b
a 0 X a
2 2 2
soit a²bcX + ab²cY ‒ abc²Z = abc(aX + bY ‒cZ) = 0
Les deux déterminants s'annulent "en concordance de phase" avec aX + bY ‒ cZ= 0 . Cqfd.
