D1927. Le quatrième de la bande
Dans un triangle ABC dont les points O,I et H sont respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et l’orthocentre, les cercles exinscrits touchent les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. Démontrer que les droites AD, BE et CF se coupent en un même point appelé N dont la distance à H est le double de la distance OI.
Si p est le demi périmètre du triangle ABC, les segments déterminés sur les côtés du triangle par les points de contact D,E,F des cercles exinscrits ont pour longueurs :
BD=p-c, DC=p-b, CE=p-a, EA=p-c, AF=p-b, FB=p-a. Constatons que ces longueurs vérifient : BD/CD * EC/EA * FA/FB = (p-c)/(p-b) * (p-a)/(p-c) * (p-b)/(p-a) = 1,
Si on préfère le produit des rapports de mesures algébriques il vaut -1. Le théorème de Céva prouve que les droites AD, BE, CF sont concourantes. Soit N leur point commun.
D est barycentre de B(p-b) et C(p-c) etc. Et N est barycentre de A(p-a), B(p-b), C(p-c).
I, point d'intersection des bissectrices intérieures est barycentre de A(a), B(b), C(c).
En vecteurs : GN = [(p-a)GA+(p-b)GB+(p-c)GC]/(3p-a-b-c) = [(p-a)GA+(p-b)GB+(p-c)GC]/p GI = ( aGA+bGB+cGC )/ (a+b+c) = ( aGA+bGB+cGC )/(2p)
D'où (toujours en vecteurs ), GN + 2GI = (p-a+a)GA+(p-b+b)GB+(p-c+c)GC = p(GA+GB+GC).
Mais G est centre de gravité du triangle, GA+GB+GC = 0 , Donc Vecteur GN = -2 Vecteur GI.
L'homothétie de rapport -2 de centre G applique I sur N.
L'homothétie de rapport -1/2 de centre G applique le triangle ABC sur triangle A'B'C dont les sommets sont les milieux des côtés de ABC, l'orthocentre H de ABC en l'orthocentre O de A'B'C'. Ce point O est bien le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Vecteur GO = -1/2 Vecteur GH. Vecteur GH= -2 Vecteur GO
