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Texte intégral

(1)b-mehdi.jimdo.com. Série d'exercices *** 2ème Sciences CALCUL VECTORIEL. Lycée Secondaire Ali Zouaoui " Hajeb Laayoun ". Parallélogramme :      AC  AB  AD A B  DC . est un parallélogramme équivaut à équivaut à ABCD Milieu d'un segment :     I est le milieu de  AB  ( on note I  A  B ) équivaut à IA  IB équivaut à AB  2 AI . Vecteurs colinéaires :      u et v sont colinéaires équivaut à il existe    tel que u   v . Base et repère :      u , v est une base équivaut à u et v ne sont pas colinéaires.      O , u , v est un repère équivaut à u , v est une base et O un point fixe . Coordonnées d'un point , Cordonnées d'un vecteurs :   Soit O , i , j un repère du plan..  . . . . . . .  Pour tout point M du plan il existe un unique couple  x , y  de réel tel que :    OM  x i  y j  Soient A  x A , y A  et B  x B , y B  deux points du plan , donc on a :   x  x A  *) AB  B  yB  yA  x xB yA  yB  ; *) I  A  B  A  2 2      Soient u  x 1 , y 1  et v  x 2 , y 2  deux vecteurs du plan , donc on a :   x1  x 2  u v    y1  y 2     i  j 1    et  i , j est une base orthonormé du plan équivaut à     i  j  Norme d'un vecteur , distance de deux points : Soient A  x A , y A  et B  x B , y B  deux points du plan.  Soit u  x , y  un vecteur du plan.   2 2 AB  AB  x B  x A    y B  y A  . u  x2y2 ;. . . Année Scolaire 2008 / 2009. - 1-. Prof : Abdessattar El-Faleh.

(2) b-mehdi.jimdo.com. Vecteurs colinéaires , vecteurs orthogonaux :   Soient u  x 1 , y 1  et v  x 2 , y 2  deux vecteurs du plan.     x x2  u et v sont colinéaires équivaut à dét u , v  1  x1 y 2  x 2 y1  0 y1 y 2    u et v sont orthogonaux équivaut à : x 1 x 2  y 1 y 2  0 . EXERCICE N°01:   Dans un repère O ,i , j , on donne les points A  2 , 7  , B  7 ,  1 et C  5 ,  4 .. . . . . 1°) Faire une figure et placer les points A , B et C . 2°) a- Construire le point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b- Déterminer par le calcul les coordonnée du point D .   3°) Placer le point M  3 , 9 dans le repère O ,i , j .. . . Les points C , D et M sont – ils alignés ?.  1   CE  AE  CB 4°) a- Déterminer par le calcul les coordonnés du point E tel que 2 b- Placer E sur la figure. EXERCICE N°03:  1  Soit ABC un triangle et le point M tel que BM  BC . 3 1°) Faire une figure et construire le point M .  2  1  2°) Montrer que AM  AB  AC 3 3    3°) Placer le point N tel que AN  2 AB  AC 4°) En déduire que les points A , M et N sont alignés. EXERCICE N°04: Soit un parallélogramme ABCD . Le point I est le milieu de  BC  , le point E est défini  2  par : AE  AC et le point A  est le milieu de AC  . 3 1°) Construire les points I , A  et E .  1  2  2°) Montrer que DE  DA  DC . 3 3  1   3°) Montrer que DI  DA  DC . 2 4°) En déduire que les points D , E et I sont alignés.. Année Scolaire 2008 / 2009. - 2-. Prof : Abdessattar El-Faleh.

(3) b-mehdi.jimdo.com. EXERCICE N°05: Soit un triangle ABC . On désigne par A  , B  et C  les milieux respectifs des segments     et . Soit le point tel que GA  GB  GC  0 . G BC  , CA  AB     1°) a- Montrer que GB  GC  2 GA  .   b- En déduire que AG  2 GA  .     2°) Montrer de même que BG  2 GB  et que CG  2 GC  . 3°) En déduire que les trois médianes sont concourantes en G . ( Le point G est appelé centre de gravité du triangle ABC ). EXERCICE N°06: Soit un parallélogramme ABCD . Soit M le point défini par :     3 MA  2 MB - 4 MC =0    1°) Montrer que AM  2 AB  4 AC    2°) Déterminer les réels  et  tels que DM   DC   DB .    3°) Déterminer les réels   et   tels que DM    DC    DA . EXERCICE N°07: Soit un triangle ABC .On désigne par O le centre du cercle circonscrit , par G le centre de gravité et par H l'orthocentre du triangle ABC . Soient M  B C et D  S O  A  . 1°) a- Quelle est la nature du quadrilatère BHCD ?   b- En déduire que HA  2 MO .         2°) Montrer que HA  HB  HC  2 HO et OA  OB  OC  OH .         3°) On utilisant la relation GA  GB  GC  0 , Montrer que OA  OB  OC  3 OG . 4°) En déduire que O ,H et G sont alignés.( La droite qui passe par O ,H et G s'appelle la droite d'Euler du triangle ABC ).. Année Scolaire 2008 / 2009. - 3-. Prof : Abdessattar El-Faleh.

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