D296. La saga des parallélogrammes (2ième épisode)
On considère un triangle ABC non isocèle dans lequel les points O,I et Ω désignent respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et le centre du cercle d'Euler.
On trace les milieux A1,B1 et C1 des arcs BC,CA et AB qui ne contiennent pas les sommets A,B et C du triangle puis les symétriques A2,B2 et C2 de ces points par rapport aux côtés BC,CA et AB. Soit F le centre du cercle circonscrit au triangle A₂B₂C₂ .
Soit D le point de contact du cercle exinscrit du secteur angulaire BAC avec le côté BC. La droite AD coupe la parallèle menée de O à la droite IΩ au point K
Démontrer que les points O,I,K et F forment un parallélogramme.
PROPOSITION
Nous avons vu dans le 1er épisode de cette saga (D295, février 2017) que les points O, I, H et F forment un parallélogramme dont le centre est Ω.
DONC
HF=OI et (HF) // (IO)
(*).Nous savons p ailleurs :
Le milieu de [HO] est le centre Ω du cercle d’Euler.
Donc H Ω = Ω O.
Ω étant le point d’intersection des diagonales du parallélogramme (OIHF), on déduit que Ω est le milieu de [IF] et donc Ω appartient à la droite (IF).
Il s’ensuit ,
(IΩ) // (IF) (**).
Nous allons montrer que K=N et conclure.
Soit N, le point de Nagel du triangle ABC (le triangle de Nagel a pour sommets les points de contact des trois cercles exinscrits au triangle ABC).
N est à l’intersection du cercle de Fuhrmann et de la droite (AD)
(***). Le cercle de Fuhrmann de centre F, a pour rayon FH et pour diamètre HN.Il s’ensuit que (FN) // (HN) donc (FN) //(HF) et enfin avec (FN) // (IO).
Nous avons aussi pour le rayon : FN=FH d’où avec (*) FN=IO.
(FN) // (HF) et FN=IO impliquent que (FNOI ) est un parallélogramme.
Donc (ON) //(IF) et avec (**) , nous avons :
(ON) // (IΩ
) (****).Les deux conditions (***) et (****), prouvent que K , intersection de (AD) avec la parallèle menée de O à la droite IΩ, est confondu avec le point de Nagel N.
