D221- Des carrés et un triangle qui font bon ménage.
Solution Question n°1
On trace les droites BG et CE. Les triangles ABG et ACE sont égaux. En effet AB=AE et AC=AG. D’autre part angle(BAG) = angle(BAC)+90° = angle(CAE).
Il en résulte que BG = CE et angle(AEC) = angle(ABG).
BG et CE se coupent en T tandis que AB et CE se coupent en U. Les deux triangles AEU et BTU sont semblables car les angles AUE et BUT sont égaux de même que les angles AEU et TBU. L’angle BTU égal à l’angle EAUest donc un angle droit les droites BG et CE sont perpendiculaires entre elles.
De plus, MP joint les milieux des côtés BE et BC dans le triangle BCE. MP est donc parallèle à CE et MP = CE/2. De la même manière MQ est parallèle à BG et MQ = BG/2. Les segments MP et MQ sont à la fois perpendiculaires entre eux et égaux. Le triangle MPQ est rectangle isocèle.
Question n°2
La démonstration est immédiate. Il suffit de retourner de bas en haut la figure pour constater que les segments RP et EQ tracés à partir du triangle AEG et des carrés AEDB et AGFC ont les mêmes propriétés que les segments MP et MQ. Ils sont perpendiculaires entre eux et égaux. Le quadrilatère MPQR a donc deux angles droits.Comme les 4 segments MP,MQ,RP et RQ ont pour valeur commune BG/2 = CE/2, MPRQ est donc un losange avec deux angles droits c’est à dire un carré.
Question n°3
En prolongeant AM jusqu’au point A’ tel que AA’ = 2AM, on construit le triangle ABA’ qui est égal au triangle AEG. En effet AB = AE, BA’ = AC = AG et angle(ABA’) = 180°-
angle(BAC) = angle(EAG).
Dès lors les triangles coloriés en bleu clair ABM et EAG sont égaux d’une part RA = BM
= BC/2 et d’autre part angle(ABC) = angle(EAR) ,repérés l’un et l’autre en rouge.
RA coupe BC en H. On a donc angle(BAH) = 180°-angle(EAR) – angle(EAB) = 90°- angle(EAR) = 90°- angle(ABC) angle (BHA) = 180°-angle(BAH) – angle(ABC) = 90°.
Les droites RAH et BC sont donc perpendiculaires ou en d’autres termes la médiane AR du triangle AEG est la hauteur AH du triangle ABC.
A noter que pour les mêmes raisons AM est perpendiculaire à EG.
Question n°4
Les droites BG et CE se coupent au point T et sont perpendiculaires entre elles (voir 1ère question supra). Comme les angles BDE et BTE d’une part, les angles CFG et CTG d’autre part sont droits, les points B,D,E et T d’un côté et C,F,G et T de l’autre sont cocycliques. Il en découle que : angle(BTD) = angle(BED) = 45° et angle(FTG) = angle(FCG) = 45° les points D,T et F sont alignés et les trois droites BG, CE et DF sont concourantes.
Question n°5
Si l’on projette les points D,A et F sur la droite BC, on obtient les points D’,H pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC et F’. Les triangles rectangles BDD’ et ABH sont égaux car ils ont même longueur de l’hypoténuse et les angles DBD’ et BAH sont égaux car ils sont complémentaires de l’angle ABC. De la même manière les triangles CFF’ et ACH sont égaux entre eux. Il s’ensuit que BD’ = AH et CF’ = AH. les segments D’F’ et BC ont donc même milieu M. Si l’on projette N milieu de DF sur BC, le point résultant N’ est au milieu de D’F’. Il est donc confondu avec M. le triangle BNC est donc isocèle. D’autre part NM = (DD’ + FF’)/2 = (BH+CH)/2 = BC/2. NM = MB = MC et le triangle isocèle BNC est rectangle en N.
Comme cela a été vu dans la 2ème question, le triangle EAG est le « miroir » du triangle ABC quand on tourne la figure de 180° et l’on aura pour le triangle ENG les mêmes propriétés que celles du triangle BNC. Les deux triangles BNC et ENG sont donc rectangles isocèles l’un et l’autre.
Question n°6
En prenant le milieu K su côté AB du triangle ANC, on constate que les triangles AKS et BKQ sont égaux. En effet BK=AK=AB/2, KQ et KS sont des segments à la fois
perpendiculaires et égaux entre eux (voir résultats de la 1ère question supra). Il en résulte d’une part AS = BQ et d’autre part AS et BQ perpendiculaires entre eux (la configuration est du même type que celle rencontrée à la 1ère question).
De la même façon, on peut dire que CP est perpendiculaire à QS et que BQ est
perpendiculaire à BS. Dans le triangle PQS, les trois droites AS, BQ et CP sont les hauteurs issues des trois sommets S,Q et P. Elles sont bien concourantes.
Question n°7
Les résultats obtenus antérieurement avec le triangle permettent de résoudre très rapidement le problème. On trace la diagonale BD du quadrilatère ABCD et on considère son milieu M.
Les segments MP et MS sont perpendiculaires et égaux entre eux (voir 1ère question supra appliquée au triangle ABD et aux carrés de côté AB et de côté AD). Il en est de même des segments MQ et MR qui sont perpendiculaires et égaux entre eux.
Les deux triangles MPR et MQS sont égaux entre eux les deux distances PR et QS sont égales et les droites passant par P et R d’une part et Q et S d’autre part sont perpendiculaires entre elles.
