A420. Deux carr´es dans un triangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carr´es distincts dont les dimensions des cˆot´es sont enti`eres et dont les quatre sommets reposent sur son p´erim`etre. Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois cˆot´es sont des entiers.
——————————————- Solution de Claude Felloneau
Les dimensions cherch´ees sont 777, 1036, 1295.
Soitaetbles dimensions des cˆot´es de l’angle droit,ccelle de son hypot´enuse.
On peut construire deux carr´es inscrits dans le triangle rectangle :
• l’un a deux cˆot´es port´es par les cˆot´es de l’angle droit ; la mesurexde son cˆot´e est telle que x
a =b−x
b , doncx= ab a+b.
• l’autre a un cˆote port´e par l’hypot´enuse ; c’est l’homoth´etique du carr´e ext´erieur construit sur l’hypot´enuse dans l’homoth´etie de centre le sommet de l’angle droit et de rapport h
h+c o`u h est la hauteur issue de l’angle droit. Son cˆot´e y est tel que y
c = h
h+c. Comme h = ab
c , on obtient y= abc
ab+c2 = abc a2+ab+b2.
Le triangle ´etant pythagoricien, en posant d=P GCD(a, b) , on a a=da′, b=db′, c=dc′ o`ua′, b′, c′ sont premiers deux `a deux. On en d´eduit que :
• (a′+b′) divised
En effet,x= da′b′
a′+b′ soitx(a′+b′) =da′b′.
OrP GCD(a′b′, a′+b′)=1, donca′b′ divise x. Il existe dons un entier x′ tel quex=a′b′x′. On a alorsx′(a′+b′) =ddonc (a′+b′) divised.
• a′2+a′b′+b′2divised En effety= da′b′c′
a′2+a′b′+b′2, doncy(a′2+a′b′+b′2) =da′b′c′. Ora′ diviseyb′2 et est premier avecb′2doncb′ divisey.
De mˆeme,a′ divisey, et commea′ est premier avecb′,a′b′ divisey.
Or,P GCD(c′, a′2+a′b′+b′2) =P GCD(c′, a′b′+c′2) =P GCD(c′, a′b′) = 1 etc′ divisey(a′2+a′b′+b′2) doncc′ divisey.
Commea′b′ etc′ divisenty et sont premiers entre eux,a′b′c′ divisey.
Il existe donc un naturely′ tel quey=da′b′c′.
On en d´eduit qued=y′(a′2+a′b′+b′2), donca′2+a′b′+b′2 divised.
• Il existe un entier naturelk tel que a = k(a′+b′)(a′2+a′b′+b′2)a′ et b=k(a′+b′)(a′2+a′b′+b′2)b′.
1
En effet,P GCD(a′+b′, a′2+a′b′+b′2) =P GCD(a′+b′,(a′+b′)2−a′b′) = P GCD(a′+b′, a′b′) = 1.
Or (a′+b′) divised,a′2+a′b′+b′2diviseddonc (a′+b′)(a′2+a′b′+b′2) divised.
Il existe donc un naturelktel que
a=k(a′+b′)(a′2+a′b′+b′2)a′ etb=k(a′+b′)(a′2+a′b′+b′2)b′ .
• La solution cherch´ee esta= 777, b= 1036, c= 1295.
L’aire A du triangle est:
A= 1
2k2B avecB= (a′+b′)2(a′2+a′b′+b′2)2a′b′. S est minimale lorsquekest minimal, soitk= 1, etB est minimal.
En posants=a′+b′ et p=a′b′, on obtient : B=s2(s2−p)2>36p4 cars2>4p.
Lorsquea′= 3 etb′ = 4, on ap= 12 ets= 7, doncB= 804972.
SiB6804972, alors 36p46804972 doncp <13, d’o`up612.
Le seul triplet pythagoricien (a′, b′, c′) tel quea′b′ 612 est (3,4,5).
L’aire est donc minimale poura′ = 3, b′= 4, ce qui donne d= 259, a= 777, b= 1036, c= 1295.
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