2 Pas r zéros consécutifs

Séries entières dénies par récurrence

1 Les nombres de Catalan

On dénit(c_n)parc₀= 1et

∀n∈N, c_n+1=

n

X

k=0

c_k.c_n−k (E₁)

1- Montrer quec_n est le nombre de parenthésages d'un produit den+ 1 termes. Examiner les premières valeurs de la suite.

2- Ecrire une fonction Python qui calculec_n. Estimer la complexité.

On note

f(x) =

+∞

X

n=0

c_nxⁿ 3- On noteR=Rc le rayon de convergence de cette série.

On suppose queRc>0. Montrer que

∀x∈]−R, R[, xf²(x)−f(x) + 1 = 0 (E2) 4- On pose

g(x) =1−√ 1−4x 2x Montrer quegest la somme d'une série entière et l'expliciter.

5- Montrer quef =g. Indications

1-c0= 1,c1= 1,c2= 2,c3= 5. OEIS A000108.

2- On construit la liste[c₀, ..., c_n]; complexité quadratique : O n² 3- Le théorème sur le produit de Cauchy donne .

∀x∈]−R, R[, f²(x) =

∞

X

n=0

c_n+1xⁿ

4- On utilise le développement en série entière de

u→(1 +u)^α avecα= ¹₂. On trouve Rg= ¹₄ et

∀x∈

−1 4,1

4

, g(x) =

∞

X

n=0

anxⁿ avec

an= 1 n+ 1

2n n

5-g vérie(E2), donc(an)vérie(E1). De plus,a0=c0= 1.

Donc les deux suites(an)et(cn)sont les mêmes.

Donc

f =g

1

2 Pas r zéros consécutifs

On notea0= 1et pourn≥1,an est le nombre de mots de longueurncomposés de 0 et de 1 ne contenant pasrzéros consécutifs.

On pose :

f(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ 1- Montrer queRf >0.

2- Trouver une relation de récurrence vériée par(a_n). 3- Expliciterf(x).

Indications 2- Pourn≥r:

an=

r

X

k=1

a_n−k

3 a

= ln (1 + a

)

On dénit(a_n)para₀>0et

∀n∈N, a_n+1= ln (1 +a_n)

1- Trouver la limite de(an); que peut-on en déduire pour le rayon de convergenceRdePan.xⁿ ? 2- Montrer quean ∼an+1; que peut-on en déduire pourR?

3- On pose

f(x) =

∞

X

n=0

an.xⁿ Montrer quef est continue sur [−1,1[.

4- Trouver un équivalent de(an), puis un équivalent def au point 1.

Indications

1-(an)tend vers 0, doncR≥1. 2- Soit t ∈ ]0,1[ et u_n = a_n.tⁿ ; _u

n+1

un

tend vers t, donc, d'après la règle de d'Alembert,Pu_n converge ; donc R ≥t ; nalement :

R= 1 3- Par théorème,f est continue sur]−1,1[.

Continuité sur[−1,0]: (an)étant décroissante, d'après le critère des séries alternées :

∀t∈[−1,0],∀n≥0,

∞

X

k=n

ak.t^k

≤an|t|ⁿ≤an

majorant indépendant detet qui tend vers 0 ; donc la série converge uniformément sur[−1,0]; d'où la continuité def. 4-

a_n∼ 2 n d'où

f(x)∼ −2.ln (1−x) au voisinage de 1, d'après un exercice...

2

4 b

= a

+ P

k=1

a

.b

Soit(an)_n≥1une suite de réels positifs telle queP∞

n=1an= 1. On pose pourn≥1

bn =an+

n−1

X

k=1

ak.b_n−k On noteAetB les sommes des séries entières _∞

X

n=1

an.zⁿ,

∞

X

n=1

bn.zⁿ 1- Que dire deR_a ?

2- On supposea₁= 1. CalculerR_a, R_b, A, B. 3- Montrer queRa≥Rb>0.

4- Montrer que sur un voisinage de 0 à préciser :

B=A+AB DéterminerRb.

On suppose désormais queAest un polynôme, et que0< a₁<1. 5- Que dire du module des racines deA−1 ?

Montrer que 1 est la seule de module 1.

Montrer queB est une fraction rationnelle.

6- Montrer que(b_n)converge et trouver sa limite.

Indications 1-P

an converge doncRa≥1.

2-A(x) =x;B(x) =_1−x^x . Ra =∞, Rb= 1. 3-

∀n≥1,0≤a_n ≤b_n doncRa≥Rb.

Ensuite, on montre par récurrence surnque :

∀n≥1,0≤bn≤1 DoncR_b≥1.

4- Avec le théorème sur le produit de Cauchy, surI= ]−R_b, R_b[,B=A+AB, d'où B(1−A) =A

La formuleB(1−A) =An'est pas vériée au point 1 carA(1) = 1, donc 1∈/I= ]−R_b, R_b[ doncRb≤1, doncRb= 1.

5- Avec l'inégalité triangulaire, on montre que les racines deA−1 sont de module supérieur ou égal à 1.

En eet, si|z|<1, alors :

|A(z)| ≤

d

X

j=1

aj|z|^j<

d

X

j=1

aj = 1 doncA(z)6= 1.

Si|z|= 1, il n'y a égalité que si1et les a_jz^j sont positivement liés, ce qui n'est possible que siz= 1. On peut écrire

A−1 = (X−1)Q avecQ(1)6= 1, car 1 est racine simple deA−1; on décompose la fraction :

B= A

1−A =−1− 1

A−1 =−1− c X−1 +P

Q 6- ^P_Q admet un développement en série entière avec un rayonR >1.

Donc(bn)converge versc, qui vaut ? On cherche encore un peu...

c= 1

A⁰(1) = 1 Pd

k=1k.a_k 3

5 Les nombres de Motzkin

Soit n ≥ 2 ; soit A0, ..., A_n−1 les racines n−ièmes de l'unité ; on note Mn le nombre d'ensembles de segments deux à deux disjoints, non réduits à un point, dont les extrémités sont desAj.

1- DéterminerM2, M3, M4. 2- Montrer que

∀n≥1, Mn+1=Mn+

n−1

X

j=0

Mj.M_n−1−j en précisantM0et M1.

3- Ecrire une fonction Python qui calculeMn. 4- Soitf(x) =P∞

n=0Mnxⁿ ; en supposant que le rayon de convergenceR est non nul, montrer que

∀x∈]−R, R[, f(x) = 1 +xf(x) +x²f(x)²

5- En déduiref(x); justier queR >0. Indications

f(x) = 1−x−√

1−2x−3x² 2x²

Cette fonction est somme d'une série entière sur

−¹₃,¹₃

; la suite des coecients(an)vérie la même relation de récurrence que (Mn)et possède les mêmes premiers termes ; on en déduit que(an) = (Mn), doncR=¹₃.

6 u

=

On dénit une suite(u_n)paru₀= 0, u₁= 1, etu_n+2=^un+(n+1)u_n+2 ⁿ⁺¹ pour toutn≥0. a) Montrer que cette suite converge et calculer sa limiteL.

b) Vérier avec Python.

c) Etudierf(x) =P∞

n=0un.xⁿ. Indications

a) On constate que

u_n+2−u_n+1=−u_n+1−u_n n+ 2 D'où

un−un−1=(−1)ⁿ⁻¹ n!

Puis

un = 1−

n

X

k=0

(−1)^k k!

Conclusion :

L= 1−1 e

c)(u_n)étant bornée, le rayonRvérieR≥1; avec un produit de Cauchy : f(x) = 1−e^−x

1−x

4