490. Des restes à (con)sommer Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)

A

490. Des restes à (con)sommer

Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)³ par k³ est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,

Q₁ la somme des restes des divisions de (k + 1)² par k² ? Q₂ la somme des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴ ? Q1) Le reste de 3³ par 8 est égal à 3.

Le reste de 4³ par 27 est égal à 10.

Pour k > 3, le reste de (k + 1)³ par k³ est égal à 3k² + 3k + 1, c'est à dire (k + 1)³ – k³ . Pour k allant de 4 à n, la somme des restes est (n+1)³ – 4³ .

Pour k allant de 2 à n, la somme des restes est (n+1)³ – 64 +3+10 = (n+1)³ – 51.

L'équation (n+1)³ – 51 = 999 949 équivaut à (n+1)³ = 1 000 000, la seule solution dans N est n = 99.

Le reste de 3² par 4 est égal à 1.

Pour k > 2, le reste de (k + 1)² par k² est égal à 2k + 1, c'est à dire (k + 1)² – k² . Pour k allant de 3 à n, la somme des restes est (n+1)² – 3² .

Pour k allant de 2 à n, la somme des restes est (n+1)² – 9 + 1 = (n+1)² – 8.

Et pour n = 99 c'est 10 000 – 8 = 9992.

Q2) Pour k allant de 2 à 5 les restes de (k + 1)⁴ par k⁴ sont :

k 2 3 4 5

Reste 1 13 113 46

Pour k > 5, le reste de (k + 1)⁴ par k⁴ est égal à 4k³ + 6k² + 4k + 1, c'est à dire (k + 1)⁴ – k⁴ . Pour k allant de 6 à n, la somme des restes est (n + 1)⁴ – 6⁴ = (n + 1)⁴ – 1296.

Pour k allant de 2 à n, la somme des restes est (n+1)⁴ – 1296 +1+13+113+46 = (n+1)⁴ – 1123 Pour k allant de 2 à 99, la somme des restes est (100)⁴ – 1123 = 99998877