A490. Des restes à (con)sommer

A490. Des restes à (con)sommer

Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)³ par k³ est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,

Q₁ la somme des restes des divisions de (k + 1)² par k² ? Q₂ la somme des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴ ?

Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un automate.

Q₀ : recherche de n

(k+1)³=k³+3k²+3k+1

k≥4 => k³>3k²+3k+1 => reste de la division de (k+1)³ par k³ vaut 3k²+3k+1

k=2 => reste=3 k=3 => reste=10

S₃(n) =

∑

k=2 n

restes = 3+10+

∑

k=4 n

(3k²+3k+1) = n(n+1)(n+2)+n−50

S₃(n)=999949 pour n=99

Q₁ :

(k+1)²=k²+2k+1

k≥4 => k²>2k+1 => reste=2k+1

k=2 => reste=1 S₂(n)=

∑

2 n

restes = 1+

∑

3 n

(2k+1) = 1+2⋅(n⋅(n+1)

2 −1−2)+97 = n²+n+92 S2(99)=9992

Donc la somme vaut 9992

Q₂ :

(k+1)⁴=k⁴+4k³+6k²+4k+1

k ≥6 => k⁴>4k³+6k²+4k+1 => reste=4k³+6k²+4k+1 k=2 => reste = 1

k= 3 => reste = 13 k= 4 => reste = 113 k= 5 => reste = 46

S₄(n)=1+13+113+46+

∑

k=6 n

(4k³+6k²+4k+1) = n⁴+4n³+6n²+4n−1122 S₄(99)=99998877

Donc la somme vaut 99998877