Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)³ par k³ est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,
Q₁ la somme des restes des divisions de (k + 1)² par k² ? Q₂ la somme des restes des divisions de (k + 1)⁴ par k⁴ ?
Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un automate.
La fonction fi(k)=(k+1)i/ki=(1+1/k)i tend vers 1 en décroissant quand k augmente (pour tout i) ; il existe donc une valeur hi , telle que (k+1)i<2ki dès que k≥hi
Ainsi, pour k≥4, le reste rk de la division de (k+1)3 par k3 est égal à (k+1)3-k3. Alors
∑rk=3+10+(n+1)3-64=(n+1)2-51, donc (n+1)3=1 000 000, soit n=99.
De même le reste de la division de (k+1)2 par k2 est égal à (k+1)2-k2 pour k≥3 : la somme des restes est alors 1002-32+1=9 992
Et le reste de la division de (k+1)4 par k4 est égal à (k+1)4-k4 pour k≥6 : la somme des restes est alors 1004-64+1+13+113+46=99 998 877.
