A490. Des restes à (con)sommer

A490. Des restes à (con)sommer

Si, pour l'entier k variant de 2 à n, la somme des restes des divisions de (k + 1)3 par k3 est égale à 999 949, que vaut, pour k variant toujours de 2 à n,

Q1 la somme des restes des divisions de (k + 1)2 par k2 ? Q2 la somme des restes des divisions de (k + 1)4 par k4 ?

Nota: les solutions manuelles sont préférées à celles qui font appel à un tableur ou à un

automate.

Solution proposée par Bernard Grosjean

Détermination de l’entier n

Nous avons (k + 3)³ = αk x k³ + Rk

k = 2 nous avons 3³ = 3 x 2³ + 3, soit α2 = 3 et R2 = 3 k = 3 nous avons 4³ = 2 x 3³ + 10, soit α3 = 2 et R3 = 10 k = 4 nous avons 5³ = 1 x 4³ + 61, soit α4 = 1 et R4 = 61 Si k > 3, αk < 2, soit αk = 1

En effet y = (x + 1)³ / x³, pour x > 0 décroît car y^′ = - (x + 1)² / x³ Donc, si k > 3, tous les αk sont égaux à 1

Nous avons donc, à partir de k = 4 : R4 = 5³ - 4³

R5 = 6³ - 5³ R6 = 7³ - 6³ .

R(k-1) = k³ – (k-1)³ Rk = (k+1)³ – k³

Soit ∑ (R4 à Rk) = (k+1)³ – 4³

et ∑(R2 à Rn) = (n+1)³ – 4³ + R2 + R3 = (n+1)³ – 64 + 10 + 3 = (n+1)³ – 51 Nous avons en définitive : (n+1)³ = 51 + 999 949 = 10⁶ soit (n+1) = 100 et

n = 99

Q1 : Somme des restes des divisions de (k+1)² par k² (k variant de 2 à 99)

Remarque : pour x > 0, y = (x+1)² / x² est décroissant, car y^′ = -2 (x+1)/x³ < 0 k = 2 : 3² = 2 x 2² + 1

k = 3 : 4² = 1 x 3² + 7

donc, si k > 2, tous les coefficients αk de la relation (k+1)² = αk x k² + Rk sont égaux à 1 Comme précédemment, nous pouvons écrire :

R3 = 4² – 3² R4 = 5² – 4² .

.

R98 = 99² – 98² R99 = 100² – 99²

Soit ∑ (R3 à R99) = 100² – 3²

et ∑(R2 à R99) = 100² – 3² + 1 = 10 000 – 9 + 1 = 9 992

Réponse : 9 992

Q2 : Somme des restes des divisions de (k+1)⁴ par k⁴ (k variant de 2 à 99) y = (x+1)⁴ / x⁴ est le carré de l’expression vue pour Q1

y est donc décroissant pour x > 0

k = 2 : 3⁴ = 5 x 2⁴ + 1 (81 = 5 x 16 + 1) soit R2 = 1 k = 3 : 4⁴ = 3 x 3⁴ + 13 (256 = 3 x 81 + 13) soit R3 = 13 k = 4 : 5⁴ = 2 x 4⁴ + 113 (625 = 2 x 256 + 113) soit R4 = 113 k = 5 : 6⁴ = 2 x 5⁴ + 46 (1296 = 2 x 625 + 46) soit R5 = 46

et, si k > 5, tous les coefficients αk de la relation (k+1)⁴ = αk x k⁴ + Rk sont égaux à 1 et, à partir de k = 6, nous pouvons écrire :

R6 = 7⁴ – 6⁴ R7 = 8⁴ – 7⁴ .

.

R98 = 99⁴ – 98⁴ R99 = 100⁴ – 99⁴

Soit ∑(R6 à R99) = 100⁴ – 6⁴

et ∑(R2 à R99) = 100 000 000 – 1 296 + 1 + 13 + 113 + 46 = 100 000 000 – 1123 = 99 998 877

Réponse : 99 998 877