M´ethode des ´el´ements finis : ´elasticit´e plane

´ elasticit´ e plane

Yves Debard

Universit´e du Mans

Master Mod´elisation Num´erique et R´ealit´e Virtuelle http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/index.html

24 mars 2006 – 29 mars 2011

1 Rappels 1

1.1 Hypoth`ese contraintes planes . . . 1

1.2 Hypoth`ese d´eformations planes . . . 3

2 Forme diff´erentielle 4 3 Forme int´egrale faible 5 4 Forme discr´etis´ee : ´el´ements finis 7 4.1 Discr´etisation du domaine : maillage . . . 7

4.2 Repr´esentation ´el´ementaire (ou locale) du champ de d´eplacements . . . 8

4.3 Repr´esentation globale du champ de d´eplacements . . . 8

4.4 Discr´etisation de la forme int´egrale faible . . . 9

4.5 Probl`emes particuliers . . . 10

4.5.1 Probl`eme stationnaire . . . 10

4.5.2 Modes propres de vibration . . . 11

4.6 Mise en œuvre pratique : calculs ´el´ementaires et assemblage . . . 11

5 Probl`eme ´elastostatique : ´energie potentielle et m´ethode de Ritz 12 5.1 Calcul des variations . . . 12

5.2 Energie potentielle . . . .´ 13

5.3 M´ethode de Ritz et ´el´ements finis . . . 14

6 Calculs ´el´ementaires : ´el´ements isoparam´etriques 15 6.1 El´ement isoparam´etrique : d´efinition . . . .´ 15

6.1.1 Repr´esentation de la g´eom´etrie . . . 15

6.1.2 Maillage conforme . . . 16

6.1.3 Repr´esentation du champ de d´eplacements . . . 16

6.2 Biblioth`eque d’´el´ements . . . 17

6.2.1 Triangle `a 3 nœuds . . . 17

6.2.2 Triangle `a 6 nœuds . . . 18

6.2.3 Quadrangle `a 4 nœuds . . . 19

6.2.4 Quadrangle `a 8 ou 9 nœuds . . . 20

6.3 Calcul des matrices et des vecteurs ´el´ementaires . . . 21

6.3.1 Transformation des d´eriv´ees . . . 21

6.3.2 Transformation des int´egrales . . . 21

6.3.3 Evaluation num´erique des int´egrales . . . .´ 22

6.3.4 Calcul des matrices . . . 23

6.3.5 Calcul des vecteurs . . . 23

6.4 Qualit´e du jacobien. . . 25

A Programmes Maple 27 A.1 tri3 int : triangle `a 3 nœuds . . . 27

A.2 tri6 int : triangle `a 6 nœuds . . . 27

A.3 quad4 int : quadrangle `a 4 nœuds . . . 28

A.4 quad8 int : quadrangle `a 8 nœuds . . . 28

A.5 quad9 int : quadrangle `a 9 nœuds . . . 29

A.6 Qualit´e du jacobien : quadrangle `a 4 nœuds . . . 29

A.7 Qualit´e du jacobien : triangle `a 6 nœuds . . . 30

R´ef´erences 32

Introduction

Dans ce texte nous pr´esentons la r´esolution d’un probl`eme d’´elasticit´e plane par la m´ethode des ´el´e- ments finis.

Nous adopterons les hypoth`eses suivantes :

– Les d´eplacements et les d´eformations sont petits.

– Le comportement du mat´eriau est ´elastique et lin´eaire.

– Le mat´eriau est homog`ene et isotrope.E,ν,αetρ sont respectivement le module de Young, le coefficient de Poisson, le coefficient de dilatation et la masse volumique du mat´eriau.

Le rep`ere{O;x, y, z} est un rep`ere orthonorm´e.~ı,~et~k sont les vecteurs unitaires des axes.

1 Rappels

1.1 Hypoth`ese contraintes planes

Figure 1– Plaque sollicit´ee dans son plan

Un solide (figure 1) est en ´etat de contraintes planes par rapport au plan {O;x, y}, s’il existe un rep`ere{O;x, y, z}, tel qu’en tout pointM du solide, le tenseur des contraintes soit de la forme :

T~(M,~ı) T(M, ~~ ) T~(M, ~k) composantes sur





~ı

~

~k



 σ_xx σ_xy 0

σ_yx σ_yy 0

0 0 0



 (1.1)

o`u σ_xx , σ_yy et σ_xy =σ_yx sont ind´ependants de z. L’axe~k est donc, pour tous les points du solide, direction principale et la contrainte principale associ´ee est nulle.

Dans la formule (1.1), T(M, ~n) est le vecteur contrainte sur la facette~ ~n enM.

Le tenseur des d´eformations se r´eduit `a : [ε(M)] =



 ε_xx ¹₂γ_xy 0

12γ_xy ε_yy 0

0 0 ε_zz



 avec ε_zz = −ν

E (σ_xx+σ_yy) +α∆T (1.2) o`u ∆T est la variation de temp´erature.

La loi de comportement s’´ecrit :

{σ}= [D] ({ε} − {ε_th}) (1.3)

o`u :

– {ε} est le vecteur d´eformation :

{ε}=



 ε_xx ε_yy γ_xy = 2ε_xy



=

















∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y +∂v

∂x

















(1.4)

La figure (2) montre la signification des composantesε_xx,ε_yy etγ_xydu tenseur des d´eformations.

Figure 2 – Transformation d’un rectangle infiniment petit – {σ} est le vecteur contrainte :

{σ}=



 σ_xx σ_yy σ_xy



 (1.5)

– [D] est la matrice des coefficients ´elastiques :

[D] = E 1−ν²





1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν 2



 (1.6)

– {ε_th}repr´esente les d´eformations d’origine thermique : {ε_th}=α∆T



 1 1 0



 (1.7)

Les d´eformations et les contraintes ne d´ependent que des d´eplacements suivantx ety :

½u(x, y;t) v(x, y;t)

¾

(1.8)

1.2 Hypoth`ese d´eformations planes

Un solide est en ´etat de d´eformations planes par rapport au plan{O;x, y}, s’il existe un rep`ere{O;x, y, z}, li´e au solide, tel qu’en tout point du solide, le champ de d´eplacements soit de la forme :





u(x, y;t) v(x, y;t)

0



 (1.9)

Le tenseur des d´eformations se r´eduit `a : [ε(M)] =



 ε_xx ¹₂γ_xy 0

12γ_xy ε_yy 0

0 0 0



 (1.10)

Le tenseur des contraintes est alors de la forme : [σ(M)] =



σ_xx σ_xy 0 σ_xy σ_yy 0

0 0 σ_zz



 avec σ_zz =ν(σ_xx+σ_yy)−E α∆T (1.11)

La loi de comportement s’´ecrit :

{σ}= [D] ({ε} − {ε_th}) (1.12)

o`u :

– {ε}est le vecteur d´eformation :

{ε}=



 ε_xx ε_yy γ_xy = 2ε_xy



=

















∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y + ∂v

∂x

















(1.13)

– {σ} est le vecteur contrainte :

{σ}=



 σ_xx σ_yy σ_xy



 (1.14)

– [D] est la matrice des coefficients ´elastiques :

[D] =



λ+ 2µ λ 0 λ λ+ 2µ 0

0 0 µ



 , λ= Eν

(1 +ν)(1−2ν) , µ= E

2 (1 +ν) (1.15) λetµsont les coefficients de Lam´edu mat´eriau.

– {ε_th} repr´esente les d´eformations d’origine thermique :

{ε_th}=α∆T



 1 1 0



 (1.16)

2 Forme diff´ erentielle

Le solideV limit´e par la fronti`ereS est soumis `a : – un champ de forces volumiques : {f_V}=

½f_{V x} f_{V y}

¾

– des d´eplacements impos´es sur la fronti`ere S_u :{u_P}=

½u_P v_P

¾

– des forces surfaciques sur la fronti`ere :S_σ =S−S_u :{f_σ}=

½f_σx f_σy

¾

Figure 3– Charges et conditions aux limites

R´esoudre un probl`eme d’´elasticit´e plane consiste `a chercher un champ de d´eplacements : {u(x, y;t)}=

½u(x, y;t) v(x, y;t)

¾

(2.1a)

tel que : 







 ρ ∂²u

∂t² = ∂σ_xx

∂x +∂σ_xy

∂y +f_{V x} ρ ∂²v

∂t² = ∂σ_xy

∂x + ∂σ_yy

∂y +f_{V y}

(2.1b)

en tout point du solide avec : – les relations cin´ematiques :

ε_xx = ∂u

∂x , ε_yy = ∂v

∂y , γ_xy = ∂u

∂y + ∂v

∂x (2.1c)

– la loi de comportement (ou loi constitutive) :

{σ}= [D] ({ε} − {ε_th}) (2.1d)

– les conditions aux limites :

½u v

¾

=

½u_P v_P

¾

surS_u ,

·σ_xx σ_xy σ_xy σ_yy

¸ ½n_x n_y

¾

=

½f_σx f_σy

¾

surS_σ S =S_u ∪ S_σ , S_u ∩ S_σ =∅

(2.1e)

o`uS est la surface du solide et

½n_x n_y

¾

la normale unitaire `aS dirig´ee vers l’ext´erieur deV. Remarque : en pratique, il y a une partition de la surfaceS pour chaque composante du d´epla- cement.

– les conditions initiales `a l’instantt=t₀ :

½u(x, y;t₀) v(x, y;t₀)

¾

=

½u₀(x, y) v₀(x, y)

¾ ,

½u(x, y;˙ t₀)

˙

v(x, y;t₀)

¾

=

½u˙₀(x, y)

˙ v₀(x, y)

¾

(2.1f) Le vecteur{r}=

½r_x r_y

¾

dont les composantes sont :









r_x =ρ∂²u

∂t² − ∂σ_xx

∂x −∂σ_xy

∂y −f_{V x} r_y =ρ∂²v

∂t² −∂σ_xy

∂x −∂σ_yy

∂y −f_{V y}

(2.2)

est ler´esidude l’´equation (2.1). Il est nul si le champ de d´eplacements{u(x, y;t)}=

½u(x, y;t) v(x, y;t)

¾ est solution de cette ´equation.

3 Forme int´ egrale faible

Pour r´esoudre l’´equation (2.1) par la m´ethode des ´el´ements finis, nous utilisons la m´ethode des r´esidus pond´er´es. Multiplions le r´esidu

{r}=

½r_x r_y

¾

(3.1) par un champ de d´eplacements arbitraire

{u^∗}=

½u^∗ v^∗

¾

(3.2) puis int´egrons sur le domaineV :

W(u, u^∗) = Z

V

{u^∗}^T{r}dV = Z

V

(u^∗r_x+v^∗r_y)dV = 0 ∀ {u^∗} (3.3) Int´egrons par parties la quantit´e Z

V

µ∂σ_xx

∂x +∂σ_xy

∂y

¶ u^∗dV

puis utilisons le th´eor`eme de la divergence (ou th´eor`eme d’Ostrogradski). Il vient : Z

V

µ∂σ_xx

∂x +∂σ_xy

∂y

¶ u^∗ dV

= Z

V

µ∂(u^∗σ_xx)

∂x +∂(u^∗σ_xy)

∂y

¶ dV −

Z

V

µ

σ_xx∂u^∗

∂x +σ_xy∂u^∗

∂y

¶ dV

= Z

S

u^∗(σ_xx n_x+σ_xy n_y)dS− Z

V

µ

σ_xx∂u^∗

∂x +σ_xy∂u^∗

∂y

¶ dV

(3.4)

Imposons la condition u^∗ = 0 surS_u. La premi`ere int´egrale se r´eduit `a : Z

Sσ

u^∗f_σxdS (3.5)

De mˆeme : Z

V

µ∂σ_xy

∂x +∂σ_yy

∂y

¶

v^∗ dV = Z

Sσ

v^∗ f_σy dS− Z

V

µ σ_xy∂v^∗

∂x +σ_yy∂v^∗

∂y

¶

dV (3.6)

En portant les expressions (3.4), (3.5) et (3.6) dans l’´equation (3.3), vient : W(u, u^∗) =

Z

V

ρ {u^∗}^T{¨u}dV + Z

V

{ε^∗}^T {σ}dV

− Z

V

{u^∗}^T{f_V}dV − Z

Sσ

{u^∗}^T{f_σ} dS

(3.7)

o`u l’on a pos´e : {ε^∗}=



 ε^∗_xx ε^∗_yy γ_xy^∗



 , ε^∗_xx= ∂u^∗

∂x , ε^∗_yy= ∂v^∗

∂y , γ_xy^∗ = ∂u^∗

∂y + ∂v^∗

∂x , {¨u}= ∂²

∂t²{u} (3.8) {ε^∗} est le champ de d´eformations virtuelles induit par le champ de d´eplacements virtuels {u^∗}.

Laforme int´egrale faible d’un probl`eme d’´elasticit´es’´ecrit finalement : Trouver le champ de d´eplacements

{u(x, y;t)}=

½u(x, y;t) v(x, y;t)

¾

(3.9a) tel que :

W(u, u^∗) = Z

V

ρ{u^∗}^T{u}¨ dV + Z

V

{ε^∗}^T {σ}dV

− Z

V

{u^∗}^T{f_V}dV − Z

Sσ

{u^∗}^T{f_σ}dS= 0

∀ {u^∗} tel que{u^∗}={0}sur S_u

(3.9b)

o`u :

{ε}=



 ε_xx ε_yy γ_xy



 , {σ}=



 σ_xx σ_yy σ_xy



 (3.9c)

avec :

– les relations cin´ematiques :

ε_xx = ∂u

∂x , ε_yy = ∂v

∂y , γ_xy = ∂u

∂y + ∂v

∂x (3.9d)

– la loi de comportement (ou loi constitutive) :

{σ}= [D] ({ε} − {ε_th}) (3.9e)

– les conditions aux limites :

{u}={u_P} surS_u (3.9f)

– les conditions initiales :

{u(x, y;t₀)}={u₀(x, y)} , {u(x, y;˙ t₀)}={u˙₀(x, y)} , {u}˙ = ∂

∂t{u} (3.9g)

Remarques :

– Les fonctions{u}et{u^∗}doivent ˆetre suffisamment r´eguli`eres pour que les expressions ci-dessus aient un sens.

– La fonction{u^∗} est appel´eechamp de d´eplacements virtuels.

– Le champ de d´eplacements{u}est ditcin´ematiquement admissible(CA).

– La formulation int´egrale (3.9) est l’expression du principe des travaux virtuels.

– Dans l’´equation (3.3) la fonction {u}] doit ˆetre d´erivable deux fois et une fois dans l’´equation (3.9). Ces ´equations sont dites respectivement forme int´egrale forte et forme int´egrale faible de l’´equation diff´erentielle (2.1).

– Sous certaines conditions de r´egularit´e, les formulations (2.1) et (3.9) sont ´equivalentes.

4 Forme discr´ etis´ ee : ´ el´ ements finis

La solution analytique de l’´equation (3.9) est en g´en´eral inaccessible. On est donc conduit `a chercher une solution approch´ee par une m´ethode num´erique : la m´ethode des ´el´ements finis. Cette m´ethode est un cas particulier de la m´ethode de Galerkin : le champ de d´eplacements cherch´e {u} et les fonctions test {u^∗} appartiennent au mˆeme espace de dimension finie.

4.1 Discr´etisation du domaine : maillage

Le domaineV est d´ecompos´e en sous-domainesV^ede forme g´eom´etrique simple (les´el´ements) reli´es entre eux en des points appel´es nœuds (figure 4). Cette op´eration s’appellemaillage.

Figure 4 – Domaine plan discr´etis´e en 12 ´el´ements (8 triangles, 4 quadrangles) reli´es entre eux par 15 nœuds

Le maillage est d´efini par deux tables :

– La table des nœudscontient les coordonn´ees des nœuds.

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ . . . y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ . . .

– La table des ´el´ements contient, pour chaque ´el´ement, le type (triangle `a trois nœuds, qua- drangle `a quatre nœuds, . . . ) et les num´eros des nœuds dans le sens trigonom´etrique.

TRI3 QUAD4 . . .

1 4 . . .

4 5 . . .

2 3 . . .

— 2 . . .

4.2 Repr´esentation ´el´ementaire (ou locale) du champ de d´eplacements

Le champ d´eplacements dans chaque ´el´ement est d´efini en fonction des d´eplacements des nœuds de l’´el´ement : l’approximation est dite nodale. Dans l’´el´ement (e) (figure 5) :

½u(x, y;t) v(x, y;t)

¾

=

·N₁^e(x, y) 0 . . . N_n^ee(x, y) 0 0 N₁^e(x, y) . . . 0 N_n^ee(x, y)

¸













 u^e₁(t) v^e₁(t)

... u^e_ne(t) v_n^ee(t)















(4.1)

soit sous forme matricielle :

{u(x, y;t)}={N^e(x, y)}^T{u^e(t)} (4.2) o`u

– n^e est le nombre de nœuds de l’´el´ement.

– les fonctions N_i^e(x, y) sont lesfonctions d’interpolation ´el´ementaires.

– la matrice [N^e(x, y)] est la matrice d’interpolation ´el´ementaire.

– le vecteur {u^e(t)}regroupe les composantes des d´eplacements des nœuds de l’´el´ement (e).

Figure 5 – Champ de d´eplacements dans un ´el´ement `a trois nœuds 4.3 Repr´esentation globale du champ de d´eplacements

Le champ de d´eplacements a pour expression sur l’ensemble du domaineV :

½u(x, y;t) v(x, y;t)

¾

=

·N₁(x, y) 0 . . . N_n(x, y) 0 0 N₁(x, y) . . . 0 N_n(x, y)

¸













 u₁(t) v₁(t)

... u_n(t) v_n(t)















(4.3)

soit sous forme matricielle :

{u(x, y;t)}= [N(x, y)]{U(t)} (4.4) o`u

– n est le nombre de nœuds du maillage.

– les fonctions N_i(x, y) sont les fonctions d’interpolation(oufonctions de forme).

– [N(x, y)] est lamatrice d’interpolation.

– {U(t)} est levecteur des d´eplacements nodaux.

4.4 Discr´etisation de la forme int´egrale faible De l’expression du champ de d´eplacements sur le domaine :

{u(x, y;t)}= [N(x, y)]{U(t)} (4.5) on d´eduit :

{¨u}= [N]{U¨} (4.6a)

{ε}= [B]{U} avec [B] =£

B₁ . . . B_i . . . B_n ¤

, B_i =











∂N_i

∂x 0

0 ∂N_i

∂y

∂N_i

∂y

∂N_i

∂x











(4.6b)

{u^∗}= [N]{U^∗} , {u^∗}^T ={U^∗}^T[N]^T (4.6c) {ε^∗}= [B]{U^∗} , {ε^∗}^T={U^∗}^T[B]^T (4.6d) En portant ces relations dans l’´equation (3.9b), il vient :

W({U},{U^∗}) ={U^∗}^T

³

[M]{U¨}+ [K]{U} − {F}

´

(4.7) o`u :

[M] = Z

V

ρ[N]^T[N]dV (4.8)

[K] = Z

V

[B]^T[D] [B]dV (4.9)

{F}= Z

V

[N]^T{f_V}dV + Z

Sσ

[N]^T{f_S}dS+ Z

V

[B]^T[D]{ε_th}dV (4.10) [M] est la matrice de masse(kg).

[K] est la matrice de rigidit´e(N/m).

{F}est le vecteur force ´equivalent aux charges r´eparties(N).

{U} est levecteur des d´eplacements nodaux (m).

{U¨} est levecteur des acc´el´erations nodales(m/s²).

Remarques :

– les matrices [M] et [K] sont par construction sym´etriques (car la matrice des coefficients ´elas- tiques [D] est sym´etrique).

– dans l’´equation (4.7), il convient d’ajouter la contribution de l’amortissement : {U^∗}^T [C]{U˙} o`u [C] est lamatrice d’amortissement(kg/s) et{U˙}levecteur des vitesses nodales(m/s).

Effectuons une partition des degr´es de libert´e en d´eplacements inconnus (L) et impos´es (non nuls :P, nuls :S) ([1], [14], [15]) :

{U}=





{U_L}= ? {U_P} 6={0}

{U_S}={0}



 d’o`u {U^∗}=





{U_L^∗} {U_P^∗}={0}

{U_S^∗}={0}



={δU} (4.11a)

{δU}est une variation quelconque du vecteur {U}.

Cette partition induit une partition de [M], [C], [K] et{F} :

[M] =



[M_LL] [M_LP] [M_LS] [M_{P L}] [M_{P P}] [M_{P S}] [M_SL] [M_SP] [M_SS]



 , [K] =



[K_LL] [K_LP] [K_LS] [K_{P L}] [K_{P P}] [K_{P S}] [K_SL] [K_SP] [K_SS]



 (4.11b)

[C] =



[C_LL] [C_LP] [C_LS] [C_{P L}] [C_{P P}] [C_{P S}] [C_SL] [C_SP] [C_SS]



 , {F}=



 {F_L} {F_P} {F_S}



 (4.11c)

La forme faible discr´etis´ee s’´ecrit finalement : Trouver{U_L(t)}tel que :

W({U_L},{U_L^∗}) ={U_L^∗}^T µ£

[M_LL] [M_LP]¤½ {U¨_L} {U¨_P}

¾ +£

[C_LL] [C_LP]¤½ {U˙_L} {U˙_P}

¾

+£

[K_LL] [K_LP]¤½ {U_L} {U_P}

¾

− {F_L}

¶

= 0 ∀ {U_L^∗}

(4.12)

avec les conditions initiales {U_L(t₀)}={U_L,0},{U˙_L(t₀)}={U˙_L,0}

Les d´eplacements nodaux inconnus{U_L(t)}sont donc les solutions de l’´equation : [M_LL]{U¨_L}+ [C_LL]{U˙_L}+ [K_LL]{U_L}

={F_L} −[M_LP]{U¨_P} −[C_LP]{U˙_P} −[K_LP]{U_P}

(4.13a) avec les conditions initiales :

{U_L(t₀)}={U_L,0} , {U˙_L(t₀)}={U˙_L,0} (4.13b) Remarque : par construction, les matrices [K_LL] et [M_LL] sont sym´etriques.

4.5 Probl`emes particuliers 4.5.1 Probl`eme stationnaire

Dans un probl`eme stationnaire, l’´equation (4.13) se r´eduit `a :

[K_LL]{U_L}={F_L} −[K_LP]{U_P}={F¯_L} (4.14) Si le nombre de liaisons est suffisant, la matrice [K_LL] n’est pas singuli`ere (det [K<sub>LL</sub>] 6= 0) et les d´eplacements inconnus sont ´egaux `a :

{U_L}= [K_LL]⁻¹{F¯_L} (4.15)

Les d´eplacements ´etant connus, les actions de liaison sont ´egales `a : {A}=

·[K_{P L}] [K_{P P}] [K_SL] [K_SP]

¸ ½{U_L} {U_P}

¾

−

½{F_P} {F_S}

¾

(4.16)

4.5.2 Modes propres de vibration

Lesmodes propres de vibrationde la structure sont les solutions de l’´equation :

[M_LL]{U¨_L}+ [K_LL]{U_L}= 0 (4.17)

En posant :

{U_L(t)}={U˜_L} sinω t (4.18)

o`u {U˜_L}est ind´ependant du temps, il vient :

[K_LL]{U˜_L}=ω² [M_LL]{U˜_L} (4.19) o`u ω est une pulsation propre de la structure et{U˜_L} le vecteur propre associ´e.

Les pulsations propres sont les solution de l’´equation : det¡

[K_LL]−ω² [M_LL]¢

= 0 (4.20)

4.6 Mise en œuvre pratique : calculs ´el´ementaires et assemblage

Dans la pratique, [M], [K] et {F} sont construits´el´ement par ´el´ement. Cette op´eration s’appelle assemblage.

De l’expression du champ de d´eplacements dans l’´el´ement (e) :

{u(x, y;t)}= [N^e(x, y)]{u^e(t)} (4.21) on d´eduit :

{u^∗}= [N^e]{u^e∗} , {u^∗}^T ={u^e∗}^T[N^e]^T {¨u}= [N^e]{¨u^e}

{ε}= [B^e]{u^e} , [B^e] =£

B₁^e . . . B_i^e . . . B_n^ee

¤ , B_i^e=











∂N₁^e

∂x 0

0 ∂N₁^e

∂y

∂N₁^e

∂y

∂N₁^e

∂x











{ε^∗}= [B^e]{u^e∗} , {ε^∗}^T ={u^e∗}^T[B^e]^T

(4.22)

En portant ces expressions dans l’´equation (3.9b), il vient : W({U},{U^∗}) =X

e

{u^e∗}^T ( [m^e]{u¨^e}+ [k^e]{u^e} − {f^e}) (4.23) o`u :

[m^e] = Z

V^e

ρ[N^e]^T[N^e]dV (4.24)

[k^e] = Z

V^e

[B^e]^T[D] [B^e]dV (4.25)

{f^e}= Z

V^e

[N^e]^T{f_V}dV + Z

S^eσ

[N^e]^T{f_S}dS+ Z

V^e

[B^e]^T[D]{ε^e_th}dV (4.26)

Figure 6 – ´El´ement e

Dans ces formules,V^e repr´esente le volume de l’´el´ement (e) et S_σ^e la partie deS_σ qui appartient `a la fronti`ere de l’´el´ement (e) (figure 6).

Les matrices et les vecteurs ´el´ementaires sont ´evalu´ees num´eriquement.

L’´equation (3.9b) s’´ecrit :

W({U},{U^∗}) =X

e

{U^∗}^T

³

[M^e]{U¨}+ [K^e]{U} − {F^e}

´

={U^∗}^T ÃX

e

[M^e]{U¨}+ X

e

[K^e]{U} −X

e

{F^e}

! (4.27)

d’o`u :

[M] =X

e

[M^e] , [K] =X

e

[K^e] , {F}=X

e

[F^e] (4.28)

Dans les matrices [M^e] et [K^e] et dans le vecteur{F^e}, obtenus par expansion respectivement de [m^e], [k^e] et{f^e}, les seuls termes non nuls sont les termes associ´es aux degr´es de libert´e de l’´el´ement (e).

Remarques :

– La partition des degr´es de libert´e est effectu´ee avant la phase d’assemblage.

– Dans le logiciel RDMseuls les blocs de matrice (LL) et (LP) sont assembl´es.

5 Probl` eme ´ elastostatique : ´ energie potentielle et m´ ethode de Ritz

Si le probl`eme est ind´ependant du temps, la forme int´egrale faible (3.9) se r´eduit `a : W(u, u^∗) =

Z

V

{ε^∗}^T[D]{ε}dV − Z

V

{ε^∗}^T[D]{ε_th}dV

− Z

V

{u^∗}^T{f_V}dV − Z

Sσ

{u^∗}^T{f_σ}dS= 0

∀ {u^∗} tel que{u^∗}={0}sur S_u

(5.1)

5.1 Calcul des variations

Le probl`eme fondamental du calcul des variations consiste `a chercher la fonctionu(x) qui rend sta- tionnaire lafonctionnelle (oufonction de fonctions) :

J(u) = Z _b

a

F µ

x, u,∂u

∂x, . . . ,∂ⁿu

∂xⁿ

¶

dx (5.2)

ce qui s’´ecrit :

δJ = 0 ∀δu (5.3)

Les principales propri´et´es de l’op´erateur variationδ sont ([2, 9, 17]) :



























































δ²(u) =δ(δu) = 0 δ

µ∂u

∂x

¶

= ∂(δu)

∂x δF(u,∂u

∂x, . . .) = ∂F

∂u δu+ ∂F

∂ µ∂u

∂x

¶ δ µ∂u

∂x

¶ +· · · δ(F+G) =δF +δG

o`u F(u,∂u

∂x, . . .) etG(u,∂u

∂x, . . .) sont deux fonctionnelles de u δ(F G) =δF G+F δG (r`egle de Leibniz)

δ(Fⁿ) =n Fⁿ⁻¹ δF

δ(c F) =c δF o`u cest une constante δ

Z

F dx= Z

δF dx

(5.4)

5.2 Energie potentielle´ Consid´erons la fonctionnelle :

E_pot({u}) =E_def({u})−W_ext({u}) (5.5)

o`u :

– {u} est un champ de d´eplacements cin´ematiquement admissible.

– E_def({u}) est l’´energie de d´eformation du champ de d´eplacements{u} : E_def({u}) = 1

2 Z

V

{ε}^T[D]{ε}dV − Z

V

{ε}^T[D]{ε_th}dV (5.6) – W_ext({u}) est travail des forces appliqu´ees pour le d´eplacement{u} :

W_ext({u}) = Z

V

{u}^T{f_V}dV + Z

Sσ

{u}^T{f_σ}dS (5.7)

– E_pot({u}) est l’´energie potentielle du syst`eme pour le d´eplacement {u}.

La condition de stationnarit´e (5.3) s’´ecrit :

δE_pot=δE_def−δW_ext= 0 ∀ {δu} (5.8) soit :

δE_pot= Z

V

{δε}^T[D]{ε}dV − Z

V

{δε}^T[D]{ε_th}dV

− Z

V

{δu}^T{f_V}dV − Z

Sσ

{δu}^T{f_σ}dS= 0 ∀ {δu}

(5.9)

o`u

– {δu} est une variation quelconque du champ de d´eplacements (en particulier : {δu} = {0}

sur S_u).

– {δε}=



 δε_xx δε_yy δγ_xy



=

















 δ

µ∂u

∂x

¶

δ µ∂v

∂y

¶

δ µ∂u

∂y + ∂v

∂x

¶



















=



















∂(δu)

∂x

∂(δv)

∂y

∂(δu)

∂y +∂(δv)

∂x



















Cette ´equation est identique `a (5.1) si on choisit{u^∗}={δu}.

La seconde variation de la fonctionnelle est ´egale `a : δ²E_pot=

Z

V

{δε}^T[D]{δε}dV (5.10)

La matrice [D] ´etant d´efinie positive, on en d´eduit :

δ²E_pot>0 ∀ {δu}<>{0} (5.11) De plus

E_pot({u_exact}+{δu}) =E_pot({u_exact}) +δE_pot|_{u}={uexact}+1

2 δ²E_pot

=E_pot({u_exact}) +1

2 δ²E_pot> E_pot({u_exact}) ∀ {δu}<>{0}

(5.12)

Le champ de d´eplacements {u} = {u_exact}+{δu} ´etant cin´ematiquement admissible (CA), on en d´eduit :

E_pot({u_CA})≥E_pot({u_exact}) ∀ {u_CA} (5.13) On peut donc ´enoncer le th´eor`eme suivant :

Parmi l’ensemble des champs de d´eplacements cin´ematiquement admissibles, le champ de d´eplacements exact est celui qui minimise l’´energie potentielle.

5.3 M´ethode de Ritz et ´el´ements finis

Si on restreint la recherche de la solution aux champs de d´eplacements d´efinis au paragraphe (4.3), l’´energie potentielle discr´etis´ee est ´egale `a :

E_pot({U}) = 1

2 {U}^T[K]{U} − {U}^T{F}

= 1 2

½{U_L} {U_P}

¾_T·

[K_LL] [K_LP] [K_{P L}] [K_{P P}]

¸ ½{U_L} {U_P}

¾

−

½{U_L} {U_P}

¾_T½ {F_L} {F_P}

¾ (5.14)

et la condition de stationnarit´e s’´ecrit : δE_pot({U_L}) ={δU_L}^T

µ£

[K_LL] [K_LP]¤½ U_L U_P

¾

− {F_L}

¶

= 0 ∀ {δU_L} (5.15) d’o`u :

[K_LL]{U_L}={F_L} −[K_LP]{U_P} (5.16) Cette ´equation est identique `a celle obtenue au paragraphe (4.5.1).

6 Calculs ´ el´ ementaires : ´ el´ ements isoparam´ etriques

6.1 El´´ ement isoparam´etrique : d´efinition

A chaque ´el´ement r´eel, on associe un` ´el´ement de r´ef´erence (figure 7).

Figure 7– Transformation g´eom´etrique 6.1.1 Repr´esentation de la g´eom´etrie

La transformation g´eom´etrique (figure 7) qui fait passer de l’´el´ement de r´ef´erence `a l’´el´ement r´eel poss`ede les propri´et´es suivantes :

– elle est de la forme :

x(ξ, η) = Xn

i=1

N_i(ξ, η)x_i , y(ξ, η) = Xn

i=1

N_i(ξ, η)y_i (6.1)

o`u :

– nest le nombre de nœuds de l’´el´ement.

– ξ etη sont les coordonn´ees d’un point de l’´el´ement de r´ef´erence.

– x(ξ, η) et y(ξ, η) sont les coordonn´ees d’un point de l’´el´ement r´eel.

– x_i ety_i sont les coordonn´ees dui^e nœud de l’´el´ement.

– les N_i(ξ, η) sont les fonctions d’interpolation ou fonctions de forme La matrice jacobiennede la transformation est :

[J(ξ, η)] =







∂x

∂ξ

∂y

∂ξ

∂x

∂η

∂y

∂η





=





 Pn i=1

∂N_i

∂ξ x_i Pⁿ

i=1

∂N_i

∂ξ y_i Pn

i=1

∂N_i

∂η x_i Pⁿ

i=1

∂N_i

∂η y_i







=







∂N₁

∂ξ . . . ∂N_i

∂ξ . . . ∂N_n

∂ξ

∂N₁

∂η . . . ∂N_i

∂η . . . ∂N_n

∂η















 x₁ y₁

... ... x_i y_i

... ... x_n y_n











=

·J₁₁ J₁₂ J₂₁ J₂₂

¸

(6.2)

– elle estnodale: un nœud de l’´el´ement de r´ef´erence devient un nœud de l’´el´ement r´eel (les deux

´el´ements poss`edent donc le mˆeme nombre de nœuds) : x_i =x(ξ_i, η_i) =

Xn

j=1

N_j(ξ_i, η_i)x_j , y_i =y(ξ_i, η_i) = Xn

j=1

N_j(ξ_i, η_i)y_j , i= 1, . . . , n (6.3)

o`u (ξ_i, η_i) sont les coordonn´ees du i^e nœud de l’´el´ement de r´ef´erence. On en d´eduit : N_j(ξ_i, η_i) =

(0 sii6=j

1 sii=j (6.4)

– une fronti`ere de l’´el´ement de r´ef´erence devient une fronti`ere de l’´el´ement r´eel.

– elle est bijective : le d´eterminant de la matrice jacobienne ne doit pas changer de signe sur l’´el´ement. Nous imposerons la condition :

det [J(ξ, η)] =J₁₁J₂₂−J₁₂J₂₁>0 (6.5) ce qui implique que l’´el´ement de r´ef´erence et l’´el´ement r´eel soient num´erot´es dans le mˆeme sens (en g´en´eral positif).

6.1.2 Maillage conforme

La transformation g´eom´etrique doit assurer la continuit´e de la g´eom´etrie entre les ´el´ements (figure 8).

Figure 8 – Maillage conforme (`a gauche) et non conforme (`a droite]

Si deux ´el´ements ont une arˆete commune :

– les deux ´el´ements doivent avoir le mˆeme nombre de nœuds sur l’arˆete.

– les coordonn´ees d’un point de l’arˆete ne doivent d´ependre que des coordonn´ees des noeuds de l’arˆete ; elles se r´eduisent `a :

x(α) =

na

X

i=1

N_i^a(α)x_i , y(α) =

na

X

i=1

N_i^a(α)y_i , −1≤α≤1 (6.6) o`un<sub>a</sub> est le nombre de nœuds situ´es sur l’arˆete et lesN<sub>i</sub><sup>a</sup>(α) sont les fonctions d’interpolation de l’´el´ement `a une dimension etn_a nœuds (figure 15) et (§ 6.2.2 : transformation d’une arˆete).

6.1.3 Repr´esentation du champ de d´eplacements

Les fonctionsN_i(ξ, η) qui d´efinissent la transformation g´eom´etrique sont lesfonctions d’interpola- tionpour le champ de d´eplacements (´el´ement isoparam´etrique) :

u(ξ, η) = Xn

i=1

N_i(ξ, η)u_i , v(ξ, η) = Xn

i=1

N_i(ξ, η)v_i (6.7)

o`uu_i etv_i sont les d´eplacements du nœudi.

Crit`ere de compl´etude: pour que la solution´el´ements finisconverge vers la solution exacte quand la taille des ´el´ements tend vers z´ero, l’´el´ement doit pouvoir repr´esenter un champ de d´eplacements qui

correspond `a des d´eformations nulles (mouvement de corps rigide) ou constantes. Consid´erons donc le champ de d´eplacements :

u(x, y) =a_x+b_xx+c_xy , v(x, y) =a_y+b_yx+c_yy (6.8) d’o`u les valeurs nodales :

u_i=a_x+b_xx_i+c_xy_i , v_i =a_y +b_yx_i+c_yy_i , i= 1, . . . , n (6.9) Le champ de d´eplacements sur x s’´ecrit sous forme param´etrique (´equation 6.7) :

u(ξ, η) = Xn

i=1

N_i(ξ, η)u_i= Xn

i=1

N_i(ξ, η) (a_x+b_xx_i+c_xy_i)

=a_x Xn

i=1

N_i(ξ, η) +b_x Xn

i=1

N_i(ξ, η)x_i+c_x Xn

i=1

N_i(ξ, η)y_i

(6.10)

En utilisant les relations (6.1), il vient : u(x, y) =a_x

Xn

i=1

N_i(ξ, η) +b_xx+c_xy (6.11)

On retrouve le champ de d´eplacements (6.8) si : Xn

i=1

N_i(ξ, η) = 1 (6.12)

Cette condition est v´erifi´ee par les ´el´ements d´ecrits ci-dessous.

Remarque : si le maillage est conforme, le champ de d´eplacement est continu entre les ´el´ements.

6.2 Biblioth`eque d’´el´ements 6.2.1 Triangle `a 3 nœuds

Figure 9– Triangle `a 3 nœuds La transformation g´eom´etrique est de la forme :

x(ξ, η) =a+b ξ+c η=£

1 ξ η¤



 a b c



= [P(ξ, η)]{A} (6.13)

[P(ξ, η)] est la base polynomiale de la transformation.

La transformation est nodale d’o`u :



 x₁ x₂ x₃



=



 x(0,0) x(1,0) x(0,1)



=



 1 0 0 1 1 0 1 0 1







 a b c



= [C]{A} (6.14)

On en d´eduit :

x(ξ, η) = [P] [C]⁻¹



 x₁ x₂ x₃



=£

N₁(ξ, η) N₂(ξ, η) N₃(ξ, η)¤



 x₁ x₂ x₃



 (6.15)

Il vient pour les fonctions d’interpolation et leurs d´eriv´ees (programmetri3 int) :

[N]^T=



 1−ξ−η ξ η



 ,

·∂N

∂ξ

¸_T

=



 −1 1 0



 ,

·∂N

∂η

¸_T

=



 −1 0 1



 (6.16)

Figure 10 – Triangle `a 3 nœuds : fonctions d’interpolation Matrice jacobienne de la transformation: elle est ´egale `a (´equation (6.2)) :

[J(ξ, η)] =

·−1 1 0

−1 0 1

¸

x1 y1

x2 y2

x3 y3



=

·x2−x1 y2−y1

x3−x1 y3−y1

¸

(6.17)

d’o`u son d´eterminant :

det[J(ξ, η)] = (x2−x1) (y3−y1)−(x3−x1) (y2−y1) = 2A (6.18) o`uAest l’aire de l’´el´ement r´eel.

6.2.2 Triangle `a 6 nœuds

Figure 11 – Triangle `a 6 nœuds