Chapitre 5 : La m´ethode des ´el´ements finis pour le laplacien

Equations aux d´ ´ eriv´ ees partielles

Chapitre 5 : La m´ethode des ´el´ements finis pour le laplacien

Lucie Le Briquer

Sommaire

1 Formulation variationelle 1

2 La m´ethode des ´el´ements finis 3

2.1 Triangulation d’un ouvert polygonal . . . 3 3 Existence de solution pour le probl`eme continu 4

4 Estimation d’erreur 6

On se donne un ouvert born´e et polygonal Ω⊂Rⁿ et on s’int´eresse `a la r´esolution du probl`eme suivant :

Trouveru: Ω−→Rtel que :

( −∆u=f dans Ω

u= 0 sur∂Ω (1)

Ici,f (`a valeurs r´eelles) est donn´ee.

1 Formulation variationelle

Etant donn´´ e deux fonctions r´eguli`eresφetψsurR<sup>n</sup>et Ω un ouvert r´egulier (i.e. ouvert dont la fronti`ere est une fonction r´eguli`ere) deRⁿ, on a :

∀i∈ {1, ..., n}, Z

Ω

φ∂ψ

∂x_i +ψ∂φ

∂x_i

dx_i= Z

∂Ω

φψn_idΓ Th´eor`eme 1 (Green)

– Pla¸cons nous `a la fronti`ere de Ω. On se place au voisinage d’un point. On d´efinit alors ~n le vecteur normal unitaire orient´e vers l’ext´erieur (de la surface) : ~n= (n1, ..., nn).

– dΓ est un ´el´ement de surface infinit´esimal (exemple du cercle en dimension 2 en coordonn´ees polaires : dΓ =Rdθ)

Ce que l’on va faire ici, c’est consid´erer la surface parall`ele `a la fronti`ere translat´ee d’une ´epaisseur dξ(vers l’ext´erieur). L’id´ee est de factoriser la mesure de Lebesgue en deux facteurs : dx1...dxn= dΓdξ(en dimension 3,dΓ serait un ´el´ement de surface infinit´esimal etdξ un ´el´ement de longueur caract´erisant l’´epaisseur).

Preuve.

Dans le casn= 1 et Ω =]a, b[

Z

Ω

φ∂ψ

∂x +ψ∂φ

∂x

dx= [φψ]^b_a

= (φψ)(a)−(φψ)(b)

= (φψ)(a)n(a) + (φψ)(b)n(b)

On peut alors voir le th´eor`eme de Green comme la g´en´eralisation de l’IPP aux dimensions sup´erieures.

Remarque.

Le th´eor`eme de Green-Ostrogradski vu en sp´e `a savoir : Z

Ω

divU dx= Z

∂Ω

U.ndΓ

est un corollaire de la formule de Green dans le casφ= 1.

Exemple.

Soitv:Rⁿ−→R. On ´etudie :

− Z

Ω

(∆u)vdx= Z

Ω

f vdx

(c’est le probl`eme (1) multipli´e parv et int´egr´e).

Siv= 0 sur ∂Ω, alors par la formule de Green, on a : Z

Ω

u⁰ ∂v

∂x_i +v∂u⁰

∂x_i

dxi= 0 En appliquant la formule ce-dessus avecu⁰ =_∂x^∂u

i pour touti, on fait r´eapparaˆıtre (en sommant suri) le laplacien et on obtient :

∀v:Rⁿ −→Ravecv= 0 sur ∂Ω, on a : Z

Ω

(∇u)(∇v)dx= Z

Ω

f vdx

L’´equation ci-dessus est une formulation variationnelle de (1).

2 La m´ ethode des ´ el´ ements finis

On consid`ere `a nouveau :

Z

Ω

(∇u)(∇h)dx= Z

Ω

f hdx

pourhnulle sur∂Ω.

Cette ´equation est d’inconnueuet de donn´ees (Ω, f). hest dans un espace vectoriel de dimension infinie. On va construire un espace vectoriel Vh de dimension finie (M = dimVh) form´e de fonctions d´efinies sur Ω et nulles sur le bord de Ω.

On prend (v_m)_1≤m≤M une base deV_h. On ´etudie alors le probl`eme suivant : Trouver u_h∈V_h telle que ∀m,

Z

Ω

(∇uh)(∇vm)dx= Z

Ω

f v_mdx (2)

C’est lam´ethode de Galerkin. On appelle les (vm) les fonctions test.

Exemple.

Si on ´etudieL²(0,2π), on pose, si l’on veut obtenir les coefficients de Fourier :

∀m, vm(x) =e^imx

La base de Vh se trouve bien sur un segment, sur le carr´e, mais ¸ca devient beaucoup plus compliqu´e sur le triangle. On remarque que le syst`eme deM ´equations que l’on obtient peut se mettre sous la forme d’une ´equation matricielleAx=b.

Exemple.

Supposons quen= 1. On prend Ω =]a, b[ et on d´ecoupe le segment enM pointsx1, ..., xM. On prend aors pour (vi)i les fonctions triangles.

v_i:















]a, b[ −→ R x 7−→







0 si x∈Ω\[x_i−1, xi+1] 1 en x_i

les pentes sont affines

Les (vi)i v´erifient la condition (2) et les relations entre lesui =uh(xi) sont donn´ees par : pour ifix´e on obtientui en fonction deu_i−1 etui+1- ce qui assure sous forme matricielle l’obtention d’une matriceAtridiagonale (la plus simple des matrices bandes non diagonale).

2.1 Triangulation d’un ouvert polygonal

On note T cet ouvert. Ω = ∪

T∈TT et on impose CardT < +∞. Les T sont des triangles et T_i∩T_j ne peut ˆetre que :

– vide

– r´eduit `a un des sommets de Ti et Tj

– r´eduit `a une arˆete commune deTi etTj

– ´egale `aTi=Tj

On pose (Si)i∈I l’ensemble des sommets. On d´efinitI0comme suit : i∈I0⇔Si∈∂Ω

On pose aussiJ =I\I0et N = CardJ.

Pour trouver les (vi)i on s’appuie sur la propri´et´e suivante.

Pour touti∈I, il existe un uniquevi te que : – (vi)|T est affine

– pour toutj : vi(Si) = 1 etvi(Sj) = 0 si j6=i Proposition 2

SoitV_h l’espace vectoriel engendr´e par les (v_i)_i∈J (trouv´es par la proposition pr´ec´edente).

dimVh=N Proposition 3

On utilise alos la m´ethode de Galerkin avecV_h :

∀v∈Vh,X

T∈T

Z

T

(∇uh)(∇v)dx= Z

Ω

f vdx (3)

v est affine par triangle (par morceaux). On prouve que∇v∈L²(Ω) et∇v∇w∈L¹(Ω).

R´esoudre (3) revient `a r´esoudre la mˆeme propri´et´e uniquement pour les (vm)m. On aboutit `a la r´esolution d’un syst`emematricielAx=b. On a :

Ai,j= Z

Ω

∇vi∇vjdx

Aest sym´etrique d´efinie positive.

Proposition 4

3 Existence de solution pour le probl` eme continu

Ω ouvert born´e r´egulier. Soit :

D(Ω) ={ϕ∈ C^∞(Rⁿ),Supp(ϕ)⊂Ω}

ϕ7−→ R

Ω|∇ϕ|²dx1/2

est une norme surD(Ω) Lemme 5

Preuve.

On a clairement une semi-norme. Il reste `a montrer queR

Ω|∇ϕ|²dx= 0⇒ϕ= 0.

Soit Ω = Ω1∪...∪Ωp,p <+∞, les composantes connexes de Ω.

R

Ωi|∇ϕ|²dx= 0⇒ϕ=C_i sur Ω_i. Doncϕ= 0 sur ∂Ω_i. Or∂Ω =S

i∂Ω_i. DoncC_i= 0∀i.

D(Ω) n’est pas complet pour la norme :

kϕk= sZ

Ω

|∇ϕ|²dx Propri´et´e 6

Preuve.

Exercice classique inspir´e deD(Ω) est dense dansL²(Ω) pour la norme|.|0o`u :

|a|0= Z

Ω

a²dx ^1/2

D´efinissonsH₀¹(Ω) = le compl´et´e deD(Ω) pour la normek.k. D(Ω)⊂H₀¹(Ω) complet.

H₀¹(Ω) est un espace de Hilbert avec comme produit scalaire : ((ϕ, ψ)) =

Z

Ω

∇ϕ∇ψdx

Sur un espace de HilbertH on a leth´eor`eme de repr´esentation de Riesz :

∀l∈H⁰ =L(H, R),∃!L∈H tq ∀v∈H,((L, v)) =l(v)

Remarque.

klkH⁰ =kLkH

Revenons `a notre preuve :

∀f ∈L²(Ω),∃!u tq ∀v∈H₀¹(Ω), ((u, v)) = Z

Ω

f vdx

Si ? v7−→R

Ωf vdxlorsque f ∈ L²(Ω),∈H₀¹(Ω)⁰ =H⁰ alors ok.

∃ctq Z

Ω

f vdx

≤ Z

Ω

f²dx

1/2 Z

Ω

v²dx 1/2

≤c(^R_Ω^|∇v|2dx)^1/2

Soit Ω⊂]a, b| ×Rⁿ⁻¹apr`es rotation des coordonn´ees. Alors :

∀ϕ∈ D(Ω), |ϕ|²dx^1/2

≤(b−a) Z

Ω

|∇v|²dx 1/2

Propri´et´e 7(in´egalit´e de Poincar´e)

Preuve.

Soita≤x1≤b.

|ϕ(x₁, x⁰)|²≤ Z x1

a

∂ϕ

∂x₁(s, x⁰)

2

ds≤ Z x1

a

1ds

≤b−a

Z x1

a

∂ϕ

∂x₁ ²

(s, x⁰)ds

!

Z

Ω

ϕ²(x₁, x⁰)dx⁰≤(b−a)² Z

Ω

∂ϕ

∂x₁ ²

(s, x⁰)dsdx≤(b−a)² Z

Ω

|∇ϕ|²dx Finir la preuve.

4 Estimation d’erreur

(i)uh MEF P1

(ii)uanalyse fonctionnelle

ku−u_hk?

((uh, v)) = Z

Ω

f vdx,∀v∈Vh

((u, v)) = Z

Ω

f vdx,∀v∈V

⇒((u−uh, v)) = 0 ∀v∈Vh (∗)

ku−u_hk= inf

v_h∈V_hku−v_hk Th´eor`eme 8 (lemme de C´ea)

Preuve.

ku−uhk²= ((u−uh, u−uh))

= ((u−v_h+ v_h−u_h

∈V_hdonc(∗)

, u−u_h))

≤ ku−uhkku−vhk

La fin de l’histoire :

Interpolation. w∈H₀¹(Ω),Πhw

Πh: C(Ω) −→ Vh

x 7−→ (Π_hw)(x) =P

i∈Iw(s_i)v_si(x) Preuve.

Preuve incompl`ete.

ku−uhk ≤ ku−Πhuk ≤C(u)h faux en dim 2

Pour un triangleT, on noteh_T la longueur du plus grand cˆot´e de T etρ_T le diam`etre du cercle inscrit dansT.

h_T ρT

≤ 2 sinθT

o`u θ_T est le plus petit angle.

On dit que la famille de triangulation (Th) de Ω est r´eguli`ere si∃C tel que ^h_ρ^T

T ≤C quand h→0

D´efinition 2(famille de triangulation r´eguli`ere)

Soit (T_h) une famille r´eguli`ere de triangulation.

∃ctq∀w∈ C²(Ω), Z

Ω

|∇(w−Π_hw)|²dx ^1/2

≤c Z

Ω

|∇²w|²dx ^1/2

h Th´eor`eme 9 (Raviant-Thomas Masson)

Si u∈H²(Ω),∃C(u,Ω) telle que :

ku−u_hk ≤C(u,Ω)h Corollaire 10

Remarques.

– P1 est convergente d’ordre 1 – P2 est convergente d’ordre 2 Bonus.

( −^∂_∂x^2u₂ +_∂x∂y^∂2u −^∂_∂y^2u₂ =f u= 0 sur∂Ω

Par FV on obtient : Z

Ω

∂u

∂x

∂v

∂x −∂u

∂x

∂v

∂y +∂u

∂y

∂v

∂y

dxdy= Z

Ω

f vdxdy, v= 0 sur∂Ω Pourv=u, en notantX = ^∂u_∂x,Y =^∂u_∂y, on se ram`ene `a :

Z

Ω

(X²−XY +Y²)dxdy≥ X²+Y² 2 .

Notons :

a(u, v) = Z

Ω

∂u

∂x

∂v

∂x−∂u

∂x

∂v

∂y +∂u

∂y

∂v

∂y

dxdy

On a :

a(u, u)≥ 1

2kuk²= 1 2

Z

Ω

|∇u|²dx coercivit´e Notations :

(i)H Hilbert, ((., .)),k.k (ii)a:g.b, c.,a:H×H −→R

∃c,|a(u, v)| ≤ckukkvk ∀u, v (iii)aest coercive si∃α >0 tq :

a(u, u)≥α.kuk² ∀u∈H

∀l∈H⁰,∃!u∈H tqa(u, v) =l(v) ∀v∈H Th´eor`eme 11(Lax-Milgram)