Mise en œuvre de la m´ ethode des El´ ements Finis Projet - II
On s’int´eresse `a la simulation num´erique d’un probl`eme aux limites stationnaire pos´e en 2D. Cette simulation est bas´ee sur une discr´etisation num´erique du probl`eme `a l’aide des ´el´ements finis de Lagrange.
1 Introduction
On consid`ere a, b, c∈ R, a < b ≤c, Ω =]a, c[×]a, b[, et on d´esigne par n la normale d´efinie sur Γ le bord de Ω, prise sortante par rapport `a Ω. Le probl`eme consid´er´e s’´ecrit comme suit :
Trouver u tel que
−∆u + λ u = f dans Ω, u = g1 sur Γ1, u = g2 sur Γ2,
∂nu = 0 sur Γ3.
(1)
Dans (1), f ∈ L2(Ω), gi ∈ H12(Γ) avec i = 1,2, λ ∈ L∞(Ω), λ ≥ 0, Γ1 ∪Γ2 ∪Γ3 = Γ avec Γ1, Γ2
les extr´emit´es de Ω et Γ3 les bords lat´eraux. Le probl`eme (1) permet de d´ecrire certains ph´enom`enes physiques en ´etat d’´equilibre (notamment pourλ= 0) :
• D´eformation d’une membrane
Il s’agit ici du cas d’une membrane soumise `a une charge uniformef, encastr´ee (u=g1, u=g2), et ayant des cˆot´es libres (∂nu = 0). La fonction u repr´esente alors la d´eformation de la membrane rectangulaire.
• Distribution de temp´erature
Supposons qu’une source de chaleur uniforme de charge f se trouve en dessous d’une plaque rectangulaire. La temp´erature est fix´ee (u = g1, u = g2), et les cˆot´es de la plaque sont isol´es (∂nu = 0). La fonction u repr´esente ici la distribution (stationnaire) de temp´erature dans la plaque.
• Ecoulement d’un fluide
L’´ecoulement (stationnaire, irrotationel) d’un fluide incompressible est d´ecrit par l’´equation de Poisson (ou de Laplace en l’abscence de sources).
On s’int´eresse `a (1) lorsque λ > 0. Typiquement, (1) va permettre d’´evaluer la distribution de temp´erature dans une barre de section rectangulaire dont les deux extr´emit´es sont maintenues `a temp´eratures constantes g1 et g2.
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2 Discr´ etisation num´ erique par ´ el´ ements finis
On proc`ede ici `a la discr´etisation num´erique de (1), aveca= 0,b=c= 1, par une m´ethode d’´el´ements finis.
On consid`ere un r´eseau de points du carr´e unit´e Ω = [0,1]×[0,1] constitu´e des points de coor- donn´ees (xi, yj) = (i k, j k) o`ui, j = 0,1, ..., N + 1 et k = N1+1. On subdivise ensuite chaque pav´e de sommets (xi, yi), (xi+1, yi), (xi, yi+1) et (xi+1, yi+1) en deux triangles o`u (xi, yi), (xi+1, yi), (xi, yi+1) sont les sommets du premier triangle obtenu apr`es subdivision et (xi, yi+1), (xi+1, yi), (xi+1, yi+1) sont ceux du second triangle.
L’ensemble des triangles ainsi obtenus forme une triangulation Th uniforme et r´eguli`ere de Ω, o`u h = max
K∈T hK d´esigne le pas de triangulation, avec hK = max
x,y∈K|x−y|.
On consid`ere P1 l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 1, `a variables dans R2. A l’aide de la triangulation Th et d’un espace discret utilisant les ´el´ements de P1 et convenablement choisi, on associe `a (1) un probl`eme discret qui conduit `a la r´esolution d’un syst`eme matriciel lin´eaire A uh = fho`uAest la matrice du syst`eme,fhle second membre etuhl’inconnue du syst`eme permettant de repr´esenter la solution discr`ete de (1).
3 Mise en œuvre num´ erique
3.1 Pr´eliminaires
• L’on commencera par formuler, `a l’aide de la m´ethode de Galerkin, le probl`eme variationnel qui d´ecoule de (1).
• En utilisant la triangulation Th d´ecrite ci-dessus et les ´elements de P1, d´ecrire le probl`eme varia- tionnel discret associ´e.
• Former le syst`eme matriciel lin´eaireA uh = fh, ´evoqu´e pr´ec´edemment.
3.2 Simulations num´eriques avec Scilab
L’on utilisera le logiciel Scilab pour la mise en œuvre effective, sans faire appel, `a aucun moment, d’une boˆıte `a outils de Scilabou des programmes ext´erieurs.
• Ecrire un programme qui permet de former la matriceA, et le second membrefh, en fonction des valeurs deN,g1,g2et λ. Ce programme doit effectuer les int´egrations num´eriques en utilisant la formule de Simpson, et ensuite resoudre le syst`eme matriciel `a l’aide d’une factorisation de Gauss (factorisationL U), puis repr´esenter graphiquement la solution du probl`eme discret associ´e `a (1).
L’on testera son programme avec f : (x, y) ∈ Ω 7−→ 2(x(x−1))2(y(y−1))2 −2(6y2 −6y+ 1)(x(x−1))2−2(6x2−6x+ 1)(y(y−1))2, g1 =g2= 0, λ= 2 et N = 9.
• Faire de mˆeme avec N = 99, N = 999, N = 9999.
• Dans ce cas o`u, l’on connait la solution exacte ude (1), proposer une approximation num´erique de l’erreur relative (en normeL2) sur la solutionu, pour chaque valeur deN (consid´er´ee comme
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pr´ec´edemment) ; en utilisant la formule de Simpson pour les int´egrations num´eriques. Represen- ter graphiquement les approximations num´eriques obtenues, en fonction des valeurs deN, puis commenter.
On rappelle ici la formule de Simpson. Soit f : [a, b] → R une fonction continue et n un entier positif. Les points de subdivision de l’intervalle [a, b] sont x0 = a jusqu’`a x2n = b. On ´evalue num´eriquement Rabf(x)dxavec
b−a
6n (x0+x2n+ 2
n−1
X
l=1
x2l+ 4
n
X
l=1
x2l−1).
3.3 Simulations num´eriques avec FreeFem
Reprendre les questions pr´ec´edentes en utilisant le logiciel FreeFempour la mise en œuvre effective.
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