ENSEEIHT — 2`eme Ann´ee parcours Imagerie et Multim´edia & CIRMA UE Analyse num´erique
3 septembre 2014 corrig´e
Examen de l’UE ´ El´ ements d’analyse num´ erique
Corrig´ e
1 Partie ´ equation diff´ erentielles ordinaires
B Exercice 1. (6 points) 1.1.
ϕ:R×R −→ R (t, y) 7−→ ϕ(t, y) ϕ(t, y) =
(0 sit≤1, t−1 sit >1.
1.2. Ω = R2,ϕ est continue et la d´eriv´ee partielle ∂ϕ∂y(t, y) = 0 pour tout (t, y) ∈ Ω. Par suite ϕ est lipschitzienne de constante k = 0 sur tout Ω.
On peut donc appliquer le th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de Cauchy Lip- schitz.
Remarque 1.1. On a mˆeme ici en appliquant le corollaire (I.11) du cha- pitre 3 du cours l’existence sur l’intervalle I =R.
1.3.
y:R −→ R
y 7−→ y(t)
y(t) =
(0 si t∈[0,1], (t−1)2/2 si t >1.
1.4. 1. Euler
yi+1=yi+hϕ(ti, yi) =yi= 0.
2. rk2
k1 =ϕ(ti, yi) =yi= 0
k2 =ϕ(ti+h/2, yi+ (h/2)ϕ(ti, yi)) yi+1=yi+hk2
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UE Analyse num´erique Examen – EDO
— Cas 1ti+h/2<1, alorsk2 = 0 et yi+1= 0.
— Cas 2,ti+h/2>1, alorsk2 =ti+h/2−1 et yi+1=h(ti+h/2−1).
1.5. Pour les deux sch´emas on trouve sur l’intervalle [ti, ti+1] ci-dessus comme erreur locale
ei =|y(ti+1, yi)−yi+1|=O(h2).
Par suite ces deux sch´emas sont d’ordre 1.
Dans le cours Euler est d’ordre 1 et rk2 d’ordre 2. On ne retrouve pas sur cet exemple le r´esultat pour rk2 car la fonction ϕn’est pas d´erivable sur Ω et donc la solutiony(t) n’est pas d´erivable deux fois.
B Exercice 2. (3 points) 2.1. La d´eriv´ee partielle
∂y
∂θ(t, y0, θ0)∈ L(R3,R2).
La dimension de la matrice jacobienne associ´ee est donc (2,3).
2.2. ∂y
∂θ(., y0, θ0) est solution de
(V AR)
Y˙(t) =A(t)Y(t) +B(t) y(0) = 0.
avec Y(t)∈ M(2,3)(R), A(t) = ∂ϕ
∂y(t, y(t, y0, θ0)) =
c0−c0y21(t, y0, θ0) c0
−1/c0 −b0/c0
∈ M(2,2)(R) et
B(t) = ∂ϕ∂θ(t, y(y, y0, θ0))
=
0 0 y1(t, y0, θ0)−y13(t, y0, θ0)/3 +y2(t, y0, θ0) 1/c0 −y2(t, y0, θ0)/c0 (1/c20)(y1(t, y0, θ0)−a+by2(t, y0, θ0))
∈ M(2,3)(R).
B Exercice 3. (4 points) 3.1.
y(1)(t) =y0+tAy0. y(2)(t) =y0+tAy0+ (t2/2)A2y0. 3.2.
y(k)(t) =y0+tAy0+· · ·+ (tk/k!)Aky0. 3.3. y(k)(t) tend vers etAy0.
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