TS6 Interrogation 5A 9 novembre 2018 Calculatrice interdite.
Exercice 1 :
Soitu une fonction d´efinie et d´erivable sur un inter- valle I. On suppose que u(x)>0 pourx∈I.
Soit f la fonction d´efinie sur I par f =√ u
(1) Rappeler la formule donnant la d´eriv´ee def en a
(2) a. Rappeler la d´efinition du taux d’accroisse- ment def ena.
b. Montrer la formule de la d´eriv´ee de f `a l’aide ce taux d’accroissement.
Solution:
(1) f0 = u0 2√ u
(2) a. τa(h) = f(a+h)−f(a) h
b. voir cours Exercice 2 :
D´eriver les fonctions suivantes (on ne tentera pas de simplifier)
(1) f1(x) = sin(2x+ 5)
(2) f2(x) = (5x2−3)7
(3) f3(x) = 7
(3x2+ 3)
Solution:
(1) f1(x) = 2 cos(2x+ 5) (2) f2(x) = 70x(5x2−3)6 (3) f3(x) = 42x
3x2+ 3 Exercice 3 :
D´eterminer l’´equation de la tangente de x 7→
x2−7x+ 3 en 2
Solution: f0(x) = 2x−7 et f0(2) = −3 donc l’´equation de la tangente est du typey =−3x+b.
La droite passe par le point A(2;f(2)) c’est-`a- direA(2;−7) doncb=−7 + 6 =−1.
L’´equation est y=−3x−1 Exercice 4 :
On d´efinit la fonctionf parf(x) =√
3x2+ 7 (1) ´Etudier l’ensemble de d´efinition et de
d´erivabilit´e de f.
(2) D´eterminer la limite def en −∞
(3) D´eriver f. En d´eduire le tableau de variations de f sur son ensemble de d´efinition.
Solution:
(1) 3x2 + 7 > 0 pour x ∈ R et x 7→ 3x2 + 7 d´erivable sur R donc f est d´efinie et d´erivable sur R
(2) lim
x→−∞3x2 + 7 = +∞ et lim
x→+∞
√x = +∞
donc par composition lim
x→−∞f(x) = +∞.
(3) f0(x) = 6x
√
3x2+ 7.
√3x2+ 7>0 surR,f0(x) est donc du signe de 6x.
On obtient le tableau de variations suivant : x
f0
f
−∞ 0 +∞
− 0 +
+∞
+∞ √
7
√ 7
+∞ +∞
