09-01-2006 Terminale ES2 M.WEISLINGER
NOM et PRENOM :
DEVOIR SURVEILL´E N°4
L’utilisation d’une calculatrice est autoris´ee. La qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.
Exercice I :( 3 points )
Cet exercice est un questionnaire `a choix multiples ; pour chacune des six questions, une et une seule affirmation est exacte.
Entourez l’affirmation exacte sans justifier votre choix.
Bar`eme : `A chaque question est attribu´e 0,5 point.Une r´eponse inexacte enl`eve 0,25 point.Une question sans r´eponse ne rapporte ni n’enl`eve aucun point.Si le total des points est n´egatif, la note attribu´ee `a l’exercice est ramen´ee `a z´ero.
Soit f la fonction d´efinie sur ]4 ; +∞[ par f(x) = −2x+ 1− 8
x−4 et Γ sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonormal du plan.
1. La limite def(x) en +∞est
• 0 • − ∞ • +∞
2. Une autre expression def(x) est
• f(x) =−2x+ 1− 2
x−1 •f(x) =2x2−9x+ 12
4−x • f(x) = 2x2+ 9x−2
x−4 3. Soitf′ la fonction d´eriv´ee def sur ]4 ; +∞[. Une expression def′(x) est
• f′(x) =−2− 8
(x−4)2 •f′(x) =(2−x)(x−6)
(x−4)2 • f′(x) = −2x2+ 16x−24 (x−4)2 4. La courbe Γ admet pour asymptote
• la droite d’´equationy= 4 • la droite d’´equationx= 4 • la droite d’´equationy= 4x 5. La droite d’´equationy=−2x+ 1 est
• asymptote `a la courbe Γ • situ´ee en dessous de la courbe Γ • tangente `a la courbe Γ.
6. La fonctionx7−→F(x) donn´ee par
• F(x) =−x2+x+ 8(x−4)2 •F(x) =−x2+x+ 8 ln(x−4) • F(x) =−x2+x−8 ln(x−4) est une primitive def sur ]4 ; +∞[.
Exercice II :( 5 points )
1. Exprimer en fonction de ln 2 les r´eels suivants :
(a) ln 8 (b) ln(1
4) (c) ln(
√2
2 ) (d) ln(2e3)
2. R´esoudre les ´equations suivantes :
(a) ln(3x) = 0 (b) −2 ln(x) = 4 (c) ln(x+1)+ln(1−x) = ln 3−ln 4
Exercice III :( 4 points )
1. R´esoudre les in´equations suivantes :
(a) ln(x+ 3)6ln(5−x) (b) (ln(x))2−1>0
2. Trouver le plus petit entier naturel n tel que 0.997n<0,01
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09-01-2006 Terminale ES2 M.WEISLINGER
Exercice IV :( 8 points ) PARTIE A
Soitg la fonction d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : g(x) = 2x
e −1−lnx.
1. (a) V´erifier queg′(x) =2x−e
ex o`ug′ d´esigne la fonction d´eriv´ee de g.Etudier alors son signe.
(b) Calculer la limite degquand xtend vers 0 . (c) Calculer la limite de gquand xtend vers +∞.
(On pourra ´ecrireg(x) =x(2 e− 1
x−lnx
x ) et on rappelle que limx7→+∞
lnx x = 0) (d) Calculer la valeur exacte deg(1
e) et g(e 2).
(e) En d´eduire le tableau de variations deg.
2. (a) Calculerg(e) et justifier que g(x)>0 pour toutx>e.
(b) Montrer que g s’annule sur l’intervalle [1 e;e
2] pour une unique valeur que l’on noteraα.
(c) Donner une encadrement de αau centi`eme pr`es.
3. Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthogonal (O;~i,~j).La courbe repr´esentative degest donn´ee ci-dessous et sera not´eeC.
(a) Placer les points d’abscisses α,eet e 2.
(b) PourquoiC admet-elle une unique tangente horizontale ? La repr´esenter alors sur le graphique pr´ec´edent.
(c) D´eterminer une ´equation de la tangenteTe`a C au point d’abscisseepuis la repr´esenter.
(d) Donner le tableau de signe deg(x) par lecture graphique.
PARTIE B
Soitf la fonction d´efinie sur ]0; +∞[, par :
f(x) = x2
e −xlnx.
1. V´erifier quef′(x) =g(x) pour toutx >0.
2. En d´eduire les variations def.( On ne demande pas les limites aux bornes) PARTIE C
La fonctiong repr´esente le chiffre d’affairesmarginald’une entreprise exprim´es en milliers d’euros ,en fonction du nombre de ses employ´es. Par d´efinition c’est la d´eriv´ee de la fonction correspondant au chiffre d’affaires exprim´es en milliers d’euros.
1. D´eterminer alors la fonction chiffre d’affaires not´eeGsachant que le chiffre d’affaires est nul pour un employ´e.
(Gest donc la primitive deg sur]0; +∞[ qui s’annule en1).
2. Estimer alors le chiffre d’affaires d’une entreprise de 20 employ´es `a 10 euros pr`es.
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