Montrer que la fonction f est d´erivable sur R

MT241 Examen du 3 septembre 2003 dur´ee : 3 heures Le poly est le seul document autoris´e. Les calculatrices sont interdites.

Exercice I.

1. Soita un param`etre r´eel ; d´emontrer la convergence de la s´erie num´erique X ³n

2ⁿsin(na)

´

n≥0. 2. On d´efinit une fonctionf sur R en posant

∀x∈R, f(x) = X+∞

n=1

n

2ⁿsin(nx).

Montrer que la fonction f est d´erivable sur R.

3. Calculer, pour t r´eel tel que |t|<1, les sommes des s´eries enti`eres

+∞X

n=1

n tⁿ⁻¹,

+∞X

n=1

n tⁿ,

+∞X

n=1

n²tⁿ. En d´eduire la valeur de f⁰(0).

Exercice II.

1. On suppose que la fonctiont →y(t) est solution sur Rde l’´equation diff´erentielle (E) y⁰⁰(t)−y(t) = sin(t), y(0) = 0, y⁰(0) = 1.

Par r´ecurrence, montrer que y⁽²ⁿ⁾(0) = 0 et calculer les valeurs des d´eriv´ees y⁽²ⁿ⁺¹⁾(0) pour tout entier n≥0.

2. Trouver une s´erie enti`ere P

a_ntⁿ solution de l’´equation (E). D´eterminer le rayon de convergence de cette s´erie enti`ere.

3. Exprimer la somme de la s´erie enti`ere pr´ec´edente au moyen des fonctions classiques sin(t), e^t, sh(t), etc. . .

Exercice III.

On consid`ere le syst`eme diff´erentiel

x⁰(t) =−x(t) +y(t) y⁰(t) = x(t) +z(t) z⁰(t) = x(t).

D´eterminer la solution de ce syst`eme diff´erentiel qui v´erifie la condition initiale (x(0), y(0), z(0)) = (0,1,−1).