Feuille d’Exercices 6

U P M C - Paris 6 LM260-CNED

Math´ematiques 2008/2009

Feuille d’Exercices 6

S´eries enti`eres

Exercice 6.1.—Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres de terme g´en´eral : (1) zⁿ

nπⁿ (2) (logn)zⁿ (3) nⁿ

n!zⁿ (4) zⁿ

2³ⁿ⁻² (5) 3n²−n−1 n²+ 5n+ 1zⁿ. (6) z^n! (7) n

2ⁿz²ⁿ (8) cos(n)

n! zⁿ (9) cos(n)zⁿ

Exercice 6.2.—Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres de la formeP

anzⁿ lorsque la suitean est donn´ee par :

1)an= 1

n^α 2) an = 1

n! 3)an = 2^p sin= 2pest pair et 0 sinon 4)an= 1

nπⁿ 5)an= P(n)

Q(n)avecP etQdes polynˆomes non nuls.

6)an= lnn

2³ⁿ⁻² 7)an est len-i`eme terme du d´eveloppement d´ecimal de e

Exercice 6.3.—Calculer le rayon de convergence et la somme des s´eries enti`eres suivantes : 1) P

n²xⁿ (n≥0) 2) P(n+2)²

(n+2)!xⁿ (n≥1) 3) P(−1)ⁿ

2n−1x²ⁿ (n≥1) 4) P(−1)ⁿ

2n x²ⁿ (n≥1) 5) P xⁿ

1+2+···+n (n≥1) 6) Psin(nα)

n! xⁿ (n≥0)

Exercice 6.4.—Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere de 1) e^x2−2xen 1 2) arctan

1−x² 1+x²

en 0 3) _{(x−1)(x−2)}¹ en 0 4) ln(x+a) en 0 5)e^xcosxen 0 6) (cosx)³ en 0 7) _(1+x2¹)(1−x) en 0 8) Rx

0

arctan(t²)

t dten 0 9) _(1−x)^1+x3 en 0

Exercice 6.5.—Montrer que Z +∞

0

e^−xt2S(t)dtconverge lorsquex >1 avecS(t) =X

n≥0

an

n!t²ⁿ⁺¹,

∀n∈N,|an| ≤1.

Exercice 6.6.—Soitan une suite r´eelle convergeant vers a.

1. Calculer le rayon de convergence def(z) =

∞

X

n=0

a_n n!zⁿ. 2. Calculer lim

t→+∞e^−tf(t).

Exercice 6.7.—Soita_n une suite complexe convergeant versa. On posef(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ.

1. Montrer que si la s´eriePan est absolument convergente, alors lim

x→1⁻f(x) =

∞

X

n=0

an.

2. Montrer quef(x) = P+∞

n=0s_nxⁿ P+∞

n=0xⁿ avecsn =

n

X

k=0

ak, et en d´eduire une autre d´emonstration du r´esultat.

Exercice 6.8.—Montrer que la fonction d´efinie parf(t) = 0 sit≤0 et f(t) =e^−1t sit >0 est de classeC^∞ mais pas d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0.

Exercice 6.9.—Pour toutx6= 1, posonsf(x) = e^x 1−x.

1. Montrer quef est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0.

On notef(x) =P∞

n=0anxⁿ ce d´eveloppement etR le rayon de convergence de (P anxⁿ).

2. En calculant un produit de s´eries, montrer quea_n=Pn k=0

1 k!. 3. Montrer queR≥1 et quef(x) =P

anxⁿ pour toutx∈]−1,1[.

4. En raisonnant par l’absurde, montrer queR= 1.

Exercice 6.10.—On consid`ere l’´equation diff´erentielle

(1 +x²)y⁰⁰−2y= 0. (1)

1. Soitf(x) =P∞

n=0a_nxⁿ une s´erie enti`ere de rayon de convergence R non nul. Montrer que f est solution de (??) si et seulement on si on a

an+2=−n−2

n+ 2an pour toutn∈N. 2. Montrer qu’il existe une unique fonctionf solution de (1) telle que

a. f est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de 0, b. f(0) = 0 etf⁰(0) = 1.

Calculer les coefficients et le rayon de convergence de la s´erie enti`ere obtenue.

Exercice 6.11.—Montrer qu’il existe une unique fonctionf, d´eveloppable en s´erie enti`ere, telle quef(0) = 1, et solution de l’´equation diff´erentielle

xy⁰⁰+ 2y⁰+xy= 0.

Quel est l’intervalle de d´efinition def? Calculerf sur cet intervalle.

Exercice 6.12.—Pour quelles valeurs dea∈Rexiste-t-il une fonction f non nulle d´eveloppable en s´erie enti`ere au point 0, telle que f<sup>0</sup>(x) =f(ax) ? Pr´eciser le rayon de convergence de la s´erie enti`ere obtenue.

Exercice 6.13.—Soitf et gles fonctions deRdansRd´efinies par f(x) =e^x

2 2

Z x

0

e^−t

2

2dt etg(x) =e^−x

2 2 .

1. Montrer quef est d´eveloppable en s´erie enti`ere en 0 et que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ainsi obtenue est infini.

2.Montrer quef est solution de l’´equation diff´erentielley⁰−xy= 1. En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere def en 0.

3. D´evelopper g en s´erie enti`ere sur R. En d´eduire une expression de R1

0 g(t)dt sous forme de somme d’une s´erie num´erique.

4. En ´ecrivantf(1) de deux mani`eres, d´emontrer l’´egalit´e :

+∞

X

n=0

1

1×3× · · · ×(2n+ 1) =√ e

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

2×4× · · · ×2n×(2n+ 1).