Introduction `a la m´ethode des ´el´ements finis
IUT SGM
Y. Morel
2020/2021
http://xymaths.free.fr/
Position du probl`eme
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Position du probl`eme
Un exemple : l’´equation de Poisson en 1D
(probl`eme de membrane / d´eformation ´elastique)
( −u” =f sur [0; 1]
u(0) =u(1) = 0
0 1
Position du probl`eme
Un exemple : l’´equation de Poisson en 1D
(probl`eme de membrane / d´eformation ´elastique)
( −u” =f sur [0; 1]
u(0) =u(1) = 0
0 1
f(x)
Position du probl`eme
Un exemple : l’´equation de Poisson en 1D
(probl`eme de membrane / d´eformation ´elastique)
( −u” =f sur [0; 1]
u(0) =u(1) = 0
0 1
f(x)
u(x)
Position du probl`eme Formulation int´egrale ou variationnelle
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Position du probl`eme Formulation int´egrale ou variationnelle
Soit v une fonction quelconque, d´erivable et telle quev(0) =v(1) = 0, alors en int´egrant par parties :
−u” =f =⇒ − Z 1
0
u”v= Z 1
0
f v
⇐⇒ − h
u′vi1
| {z }0
=0
+ Z 1
0
u′v′ = Z 1
0
f v
On obtient donc la formulation int´egrale (ou formulation variationnelle, ou encore formulation faible) :
Z 1
0
u′v′= Z 1
0
f v
⇐⇒ a(u,v) = l(v)
Position du probl`eme M´ethode de Galerkin et ´elements finis
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Position du probl`eme M´ethode de Galerkin et ´elements finis
La m´ethode de Galerkin propose de chercher une approximation de u dans un espace de fonction de dimension finie.
Avec un maillage de [0; 1], on d´efinit des fonctions de base d’´el´ements finis, par exemple :
h
a=x0 x1 . . . xi−1 xi xi+2 . . . b=xn ϕi
et on cherche alors une approximation de u: u≃ue=X
i
αiϕi
o`u les inconnues sont les coefficients α1,α2 . . .
Position du probl`eme M´ethode de Galerkin et ´elements finis
Le probl`eme ´etait :
trouver u tel que, pour toutv, a(u, v) =l(v) Comme aetl sont lin´eaires, le probl`eme devient
trouver uetel que, pour tout j, a(eu, ϕj) =l(ϕj) Maintenant, avec ue=X
j
αjϕj, on aa X
i
αiϕi, ϕj
!
=X
i
αia(ϕi, ϕj) et donc le probl`eme s’´ecrit
AU =B Avec la ”matrice de rigidit´e” A=
a(ϕj, ϕi)
i,j , l’inconnue U =
α1
α2
. . .
et le second membre B =
l(ϕ1) l(ϕ2) . . .
Position du probl`eme M´ethode de Galerkin et ´elements finis
Les coefficients a(ϕj, ϕi) = Z
ϕ′iϕ′j et l(ϕi) = Z
f ϕi se calculent avec une m´ethode d’int´egration num´erique.
La r´esolution de ce syst`eme donne les coefficients αj recherch´es, et donc l’approximation
u≃ue=X
i
αiϕi
soit donc, pour tout x∈[0; 1],
u(x)≃u(x) =e X
i
αiϕi(x)
Probl`eme 2D, 3D
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Probl`eme 2D, 3D
En 2D, ou 3D, l’´equation de Poisson s’´ecrit −∆u=f dansΩ
u= 0 sur∂Ω
On proc`ede de mˆeme : pour tout fonction v, on a multiplie par v, et on int`egre (en 2D ou 3D),
− Z
Ω
∆u v = Z
Ω
f v
Ensuite, il existe des analogues multidimensionnels de l’int´egration par parties : formule de Green, d’Ostrogadski, de la divergence, . . .qui permettent d’´ecrire de nouveau le probl`eme sous la forme int´egrale
a(u, v) =l(v)
Probl`eme 2D, 3D Maillage et ´el´ements finis en 2D
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Probl`eme 2D, 3D Maillage et ´el´ements finis en 2D
Maillage triangulaire (triangularisation) d’un disque
Probl`eme 2D, 3D Maillage et ´el´ements finis en 2D
Maillage d’une pi`ece avec une fente
Probl`eme 2D, 3D Exemple d’´el´ement fini en 2D
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Probl`eme 2D, 3D Exemple d’´el´ement fini en 2D
El´ements finis´ P1 en 2D
Ce sont des fonctions lin´eaires par morceaux, analogues de celles rencontr´ees pr´ec´edemment en 1D.
Probl`eme 2D, 3D El´´ements finis volumiques
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Probl`eme 2D, 3D El´´ements finis volumiques
Principaux maillages et ´el´ements finis volumiques
Probl`eme 2D, 3D Exemple de r´esultat
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Probl`eme 2D, 3D Exemple de r´esultat
D´eformation d’une poutre
Probl`eme d’´evolution
1 Position du probl`eme
Formulation int´egrale ou variationnelle M´ethode de Galerkin et ´elements finis
2 Probl`eme 2D, 3D
Maillage et ´el´ements finis en 2D Exemple d’´el´ement fini en 2D
´El´ements finis volumiques Exemple de r´esultat
3 Probl`eme d’´evolution
Probl`eme d’´evolution
Pour des probl`emes d’´evolution, par exemple, l’´equation de la chaleur : ( ∂T
∂t −∆T =f dans Ω T =g sur ∂Ω
o`u on cherche la valeur de la temp´erature T(t, x, y, z) `a l’instantt et au point M(x;y;z) de l’espace.
On cherche comme pr´ec´edemment une approximation `a l’aide de fonctions de base dans un espace de dimension finie :
T(t, M) =X
i
ui(t)ϕi(M)
et en int´egrant l’´equation Z
Ω∂T
∂tϕj − Z
Ω
∆T ϕj = Z
Ω
f ϕj.
et on obtient finalement une ´equation diff´erentielle matricielle de la forme KU′+M U =B
qu’on r´esout `a l’aide d’une m´ethode num´erique adapt´ee
