A371. Les nombres harmonieux

A371. Les nombres harmonieux

Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui-même) est un entier appelé "harmonie"

Q1 Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.

Q2 Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.

Q3 Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.

Q4 Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.

SOLUTION

Réalisée à l’aide d’un programme sur l’émulateur de la calculatrice HP Prime (peu intéressant car modifié au gré des questions et des compléments)…

Tous les résultats (et bien plus encore) sont obtenus en une minute environ.

L’étude porte sur les 937 nombres harmonieux inférieurs à 10¹⁴ (liste récupérée sur l’OEIS A001599).

Remarques préalables : Si on note H(n) le n^ième nombre harmonieux et h(n) l’harmonie de H(n).

On obtient les nuages de points suivants :

(1) H(n) en fonction de n (2) h(n) en fonction de H(n) (3) h(n) en fonction de n On « voit » que :

(1) H(n) est minoré par n⁴ pour tout n>30.

(2) Il n’existe aucune corrélation entre h(n) et H(n).

(3) h(n) est majoré par 3n pour tout n.

Q

- Le seul entier harmonieux inférieur à 2018 ayant 10 diviseurs est 496 (1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248 et 496).

- Le seul entier harmonieux inférieur à 2018 ayant 12 diviseurs est 140 (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 et 140).

Remarques :

1) Ces deux nombres ont pour harmonie 5 (et ce sont les seuls inférieurs à 10¹⁴).

2) Ce sont les deux plus petits nombres à avoir la même harmonie.

Q

Le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13 comme facteurs premiers est 360 360 (2^L × 3^N× 5 × 7 × 11 × 13). Son harmonie vaut 44.

Q

Les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6, 7, 8, 9, 10 et 11 sont : 270, 8 128, 672, 1 638, 6 200 et 2 970.

Q

H(25) = 332 640 et H(26) = 360 360 ont tous deux 44 pour harmonie.

Ce sont les seuls inférieurs à 10¹⁴.

Compléments

1) L’harmonie la plus fréquente est 648, obtenue 5 fois :

𝑯(𝟑𝟖𝟓) = 𝟓𝟏𝟑 𝟒𝟖𝟎 𝟏𝟑𝟓 𝟏𝟔𝟖 = 𝟐^𝟗× 𝟑^𝟓× 𝟕^𝟐× 𝟏𝟏 × 𝟏𝟑 × 𝟏𝟗 × 𝟑𝟏 𝑯(𝟒𝟐𝟕) = 𝟏 𝟎𝟓𝟖 𝟓𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟔𝟎𝟎 = 𝟐^𝟕× 𝟑^𝟕× 𝟓^𝟐× 𝟕 × 𝟏𝟕 × 𝟑𝟏 × 𝟒𝟏 𝑯(𝟒𝟑𝟎) = 𝟏 𝟎𝟖𝟓 𝟐𝟑𝟗 𝟕𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐^𝟑× 𝟑^𝟕× 𝟓^𝟑× 𝟕^𝟐× 𝟏𝟑 × 𝟏𝟗 × 𝟒𝟏 𝑯(𝟒𝟔𝟕) = 𝟏 𝟓𝟗𝟗 𝟑𝟎𝟎 𝟔𝟏𝟐 𝟎𝟎𝟎 = 𝟐^𝟓× 𝟑^𝟕× 𝟓^𝟑× 𝟕^𝟑× 𝟏𝟑 × 𝟒𝟏

𝑯(𝟔𝟒𝟔) = 𝟏𝟎 𝟖𝟖𝟏 𝟖𝟒𝟑 𝟑𝟖𝟖 𝟒𝟏𝟔 = 𝟐^𝟏𝟑× 𝟑^𝟓× 𝟕 × 𝟏𝟏 × 𝟏𝟑 × 𝟒𝟑 × 𝟏𝟐𝟕

2) La plus grande harmonie est 2 408, obtenue pour :

𝑯(𝟗𝟏𝟖) = 𝟖𝟔 𝟖𝟖𝟕 𝟒𝟗𝟓 𝟎𝟗𝟒 𝟒𝟎𝟎 = 𝟐^𝟕× 𝟑^𝟐× 𝟓^𝟐× 𝟕^𝟐× 𝟏𝟏 × 𝟏𝟑 × 𝟏𝟕 × 𝟏𝟗 × 𝟑𝟏 × 𝟒𝟑 . Ce nombre a 13 824 diviseurs…