Par convention, un entier naturel N est dit « plus-que-parfait » ou encore « multiparfait » d’ordre k, si la somme de ses diviseurs y compris 1 et lui-même est un multiple entier k > 1 de N. Pour k = 2, on retrouve les nombres parfaits bien connus 6, 28, 496, 8128,....
Démontrer qu’un nombre plus-que-parfait d’ordre k admet au moins k facteurs premiers distincts puis sans l’aide d’un quelconque automate, démontrer qu’il existe au moins :
- un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 qui admet 2, 3 et 5 comme seuls facteurs premiers.
- un nombre plus-que-parfait d’ordre 4 qui admet 2, 3, 5 et 7 comme seuls facteurs premiers.
Démontrer qu’à l’inverse, il n’existe pas de nombre plus-que-parfait d’ordre 5 qui admet 2, 3, 5, 7 et 11 comme seuls facteurs premiers.
Pour les plus courageux : retrouver le plus petit nombre plus que parfait d’ordre 5 calculé par Descartes en 1638...
La somme des diviseurs d’une puissance d’un nombre premier pa est 1+p+...+pa=pa *(p-1/pa)/(p-1)=pa *((p-1)+1+1/pa)/(p-1)<(1+1/(p-1))pa . La somme des diviseurs du nombre n=pa*...*qb ( p,..., q, facteurs premiers) est donc : (pa+1-1)/(p-1)*... *(qb+1-1)/(q-1)<xn avec x=(p/(p-1))*...*(q/(q-1))
Pour les i premiers nombres premiers, nous obtenons les valeurs successives de x
i facteurs
x
1 2 3 4 5
2 2, 3 2, 3, 5 2, 3, 5, 7 2, 3, 5, 7, 11
2 3 15/4 35/8 77/16
Pour i≥3, si p est le i-ème facteur premier, p≥i+1, p/(p-1)<(i+1)/i donc, par une récurrence immédiate, x<i+1. On ne peut donc avoir x=k que pour i≥k ; de plus, dans le tableau ci-dessus, 77/16<5 : il est donc impossible d’obtenir un nombre plus-que-parfait d’ordre 5 avec 5 facteurs seulement (et plus généralement d’ordre k avec k facteurs si k≥5).
Pour obtenir un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 avec les facteurs 2, 3, 5, on cherche les entiers a, b, c, tels que (2-1/2a)*(3-1/3b)*(5-1/5c)=3*2*4=24 ; pour a=3, b=1, c=1, le premier membre vaut: (15/8)(8/3)(24/5)=24 d’où la solution 23*3*5=120.
De même, pour un nombre plus-que-parfait d’ordre 4 avec les facteurs 2, 3, 5, 7, on cherche a, b, c, d tels que (2-1/2a)*(3-1/3b)*(5-1/5c)*(7-1/7d)=4*2*4*6=192 : pour a=5, b=3, c=1, d=1, le premier membre vaut
(63/32)(80/27)(24/5)(48/7)=3*64=192 d’où la solution 30240=25*33*5*7.
Enfin, le plus petit nombre plus-que-parfait d’ordre 5 est : 14182439040=27*34*5*7*112*17*19 ; on vérifie que
(255/128)(242/81)(24/5)(48/7)(1330/121)(288/17)(360/19)=691200 et 691200/(2*4*6*10*16*18)=5
