A4904 − Carrément irréductibles [**** à la main]
Problème proposé par Raymond Bloch
On considère les progressions arithmétiques de trois carrés de fractions irréductibles dont la raison est un entier r compris entre 4 et 9 (4 ≤ r ≤ 9). Pour quelle(s) valeur(s) de r de telles progressions existent-elles? Justifiez vos réponses.
Solution partielle proposée par Raymond Bloch.
Soient x<y<z les trois fractions. Il faut que y2-x2=z2-y2=r. Donc (y-x)(y+x) = r.
- Cas r=5 : posons (y-x)=5/k, d’où (y+x)=k et x=1/2(k – 5/k), y=1/2(5/k + k). On a testé les petites valeurs entières de k, d’où x et y, et on vérifie si z2 = y2+(y2 – x2) est bien le carré d’un nombre rationnel. Cela se produit pour k=6, d’où la solution :
( 31/12, 41/12, 49/12).
- Cas r=6 : une approche similaire conduit, pour k=1, à la solution ( 1/2, 5/2, 7/2).
- Cas r=7 : une approche similaire n’a pas apporté de solution pour les petites valeurs entières de k, mais pour k=15/4, on trouve la solution :
( 113/120, 337/120, 463/120).
On ne trouve pas de solution pour r = 4,8,9. Il apparaît que les nombres r qui sont la raison d’une progression arithmétique des carrés de trois fractions irréductibles appartiennent à la suite A003273 des nombres congruents, dont les premiers termes sont 5,6,7,13,14,15,…
