A371. Les nombres harmonieux

A371. Les nombres harmonieux

Remarque 1: soitN =a^p×b^q×c^r.

Le nombre de diviseurs est(p+ 1)(q+ 1)(r+ 1).

Remarque 2: la somme des inverses des diviseurs de N est ´egale au quotient de la somme des diviseurs par N.

Q1

Un nombre `a 10 diviseurs a une d´ecomposition en facteurs premiers de la forme a⁹ouab⁴.

Sous la forme a⁹, le seul candidat < 2.018 est a = 2, qui ne convient pas puisque la moyenne harmonique estH = 10/(2−1/512).

Sous la formeab⁴, on peut avoir :

b= 2, a≤ 126 ⇒ 496 = 2⁴×31 ⇒ H = 5 b= 3, a≤ 24(infructueux)

b= 5, a≤ 3(infructueux)

Un nombre `a 12 diviseurs a une d´ecomposition en facteurs premiers de la forme a¹¹(exclue parce que2¹¹= 2.024) ouab⁵ oua²b³ oua²bc.

Les formesab⁵ oua²b³ sont infructueuses.

Par contre on a : 140 = 2²×5×7 ⇒ H = 5 Q2

360.360 = 2³×3²×5×7×11×13

192 diviseurs dont la somme est 1.572.480 ⇒ H = 44 Q3

Les nombres cherch´es sont dans l’ordre : 270, 8128, 672, 1638, 6200 et 2970.

Q4

332.640 = 2⁵×3³×5×7×11et360.360 = 2³×3²×5×7×11×13 ont la mˆeme harmonie ´egale `a 44.

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Harmonie des nombres de la liste OEIS 001599 N Nb de diviseurs Somme des diviseurs H

1 1 1 1

6 4 12 2

28 6 56 3

140 12 336 5

270 16 720 6

496 10 992 5

672 24 2016 8

1638 24 4368 9

2970 32 8640 11

6200 24 14880 10

8128 14 16256 7

8190 48 26208 15

18600 48 59520 15

18620 36 47880 14

27846 48 78624 17

30240 96 120960 24

32760 96 131040 24

55860 72 191520 21

105664 28 227584 13

117800 48 297600 19

167400 96 595200 27

173600 72 499968 25

237510 96 786240 29

242060 72 670320 26

332640 192 1451520 44

360360 192 1572480 44

539400 96 1785600 29

695520 192 2903040 46

726180 144 2681280 39

753480 192 3144960 46

950976 84 2958592 27

1089270 144 3734640 42

1421280 192 5806080 47

1539720 192 6289920 47

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