Un entier naturel n est dit "harmonieux" quand la moyenne harmonique de ses diviseurs (y compris 1 et lui- même) est un entier appelé "harmonie"
Q₁ Déterminer deux entiers harmonieux inférieurs à 2018 dont l'un a 10 diviseurs et l'autre 12 diviseurs.
Q₂ Déterminer le plus petit entier harmonieux qui admet les six premiers nombres premiers 2,3,5,7,11,13 comme facteurs premiers avec d'éventuelles multiplicités.
Q₃ Déterminer les entiers harmonieux dont les harmonies sont respectivement égales à 6,7,8,9,10 et 11.
Q₄ Démontrer qu'il existe deux entiers harmonieux qui ont la même harmonie égale à 44.
A partir de la décomposition en facteurs premiers n=pα...qβ, on peut calculer les fonctions nombre de diviseurs τ(n) et somme des diviseurs σ(n) : ces fonctions sont multiplicatives, c’est à dire que leur valeur pour n est le produit des valeurs pour chaque facteur premier avec τ(pα)=1+α et σ(pα)=(pα+1-1)/(p-1). La moyenne
harmonique h(n) des diviseurs est donc telle que τ(n)/h(n)=∑1/(pa...qb), sommation étendue à tous les 0≤a≤α, ....0≤b≤β. Alors nτ(n)/h(n)=∑pα-a...pβ-b où le second membre n’est autre que la somme des diviseurs σ(n) : h est donc une fonction
multiplicative, produit des valeurs pour chaque facteur premier, et l’on recherche les valeurs pour lesquelles h(n)=nτ(n)/σ(n) est un entier.
Si p est premier, h(pα)=(1+α)pα(p-1)/(pα+1-1)=(1+α)pα/(1+p+...+pα) ; h(p)=2p/(p+1) ou encore p/((p+1)/2) si p impair. Notons qu’aucune puissance de nombre premier n’est un entier harmonieux.
Si 2k-1 est premier impair, h(2k-1)=(2k-1)/k. Par ailleurs, h(2)=4/3, h(4)=12/7, h(8)=32/15, h(16)=80/31, h(32)=64/21 ; h(3)=3/2, h(9)=27/13, h(27)=27/10 ; h(5)=5/3, h(25)=75/31
Le plus petit entier harmonieux (hors 1) est 6=2*3 : h(6)=h(2)*h(3)=(4/3)(3/2)=2.
Q1 : La somme des diviseurs de 16=24 est 31, et celle de 31 est 32=25 : 16*31=496 a 10 diviseurs et h(496)=h(16*31)=h(16)*h(31)=(5*16/31)*(31/16)=5. De même,
140=22*5*7 a 12 diviseurs et h(140)=h(22)*h(5)*h(7)=(12/7)*(5/3)*(7/4)=5.
Q2 : h(5)*h(7)*h(11)*h(13)=(5/3)(7/4)(11/6)(13/7)=5*11*13/23*32 et h(32)=33/13 et h(23)=25/15, donc h(23*32*5*7*11*13)=22*11 soit h(360360)=44
Q3 : h(2)*h(33)*h(5)=(4/3)*(27/10)*(5/3) donc h(270)=6 ; h(26)*h(127)=(26*7/127)(127/64)=7 donc h(8128)=7 ;
h(25)*h(3)*h(7)=(6*32/63)*(3/2)*(7/4) donc h(672)=8 ;
h(2)*h(32)*h(7)*h(13)=(4/3)*(33/13)*(7/4)*(13/7) donc h(1638)=9 ; h(23)*h(52)*h(31)=(32/15)*(75/31)*(31/16) donc h(6200)=10 ; h(2)*(h(33)*h(5)*h(11)=(4/3)*(33/10)*(5/3)*(11/6) donc h(2970)=11
Q4 : h(25)*h(33)*h(5)*h(7)*h(11)=(64/21)(27/10)(5/3)(7/4)(11/6) : h(332640)=44
