G241 : La grille aux 2010 carrés
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions a et b, entiers naturels tels que a > b 2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se chevaucher
Il y a ab carrés unités, (a-1)(b-1) carrés de coté 2, ..., a-b+1 carrés de coté b; soit un total de N=ab+(a-1)(b-1)+...+a-b+1=a(1+...+b)-(1*(b-1)+2*(b-2)+...+(b-1)*1)
N=ab(b+1)/2-(b-1)b(b+1)/6=b(b+1)(3a-b+1)/6
Pour b=4, b(b+1)/2=(b-1)b(b+1)/6=10 et N=10(a-1) donc a=202 convient.
Une vérification rapide avec un tableur montre que c’est la seule solution.
