G241 – La grille aux 2010 carrés Solution proposée par Loïc Mongellaz
J’ai d’abord conjecturé une formule pour calculer le nombre de carrés possibles dans une telle grille, ce qui m’a amené à : ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-(b-1))(b-(b-1)).
A l’aide des formules de la somme des entiers et de la somme des carrés j’ai factorisé jusqu’à obtenir 2010= (b(b+1)(3a-b+1))/6. Donc b(b+1)(3a-b+1)=12060
La décomposition en facteurs premiers de 12060 donne 12060 = (2^2)*(3^2)*5*67. Comme dans les diviseurs de 12060 : 2,3,4,5,6,9,10,etc....,on doit trouver deux nombres consécutifs b et b+1 et un terme égal à 12060/b(b+1) + b – 1 qui doit être multiple de 3,l’examen des solutions possibles amène à la seule solution : a=202 et b=4
