G241. La grille aux 2010 carrés
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions a et b, entiers naturels tels que a > b 2. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se chevaucher comme le montre à titre d’exemple la grille (10,5) ci-après :
Quelles sont les dimensions de la grille ?
On dénombre le nombre de carrés ݊ x ݊ que l'on peut avoir dans les différentes grilles 5 x ܾ
1x1 2x2
ܽ = 5
ܾ = 2 5
5 4
1x1 2x2 3x3
ܽ = 5
ܾ = 3
5 4
4 3
5 5
1x1 2x2 3x3 4x4
ܽ = 5
ܾ = 4
5 4
4 4
3
3 2
5 5 5 Ce qui conduit à la formule :
ܰଵሺܽ, ܾሻ = ሺܽ − ݅ሻሺܾ − ݅ሻ
ିଵ
ୀ
ܰଵሺܽ, ܾሻest aussi égal à ܰଶሺܽ, ܾሻ =ଵܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 1ሻ, ce que l′on va montrer par récurrence
•
ܰଵሺ2,1ሻ = ሺܽ − ݅ሻሺܾ − ݅ሻ
ୀ
= ܾܽ = 2
ܰଶሺ2,1ሻ =1
6 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 1ሻ =1
6 2ሺ6 − 1 + 1ሻ = 2
• Récurrence sur ܽ
ܰଵሺܽ + 1, ܾሻ = ሺܽ + 1 − ݅ሻሺܾ − ݅ሻ
ିଵ
ୀ
= ሺܽ − ݅ሻሺܾ − ݅ሻ
ିଵ
ୀ
+ ሺܾ − ݅ሻ
ିଵ
ୀ
ܰଵሺܽ + 1, ܾሻ = ܰଵሺܽ, ܾሻ + ܾ + ሺܾ − 1ሻ + ⋯ + 1
ܰଵሺܽ + 1, ܾሻ =1
6 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 1ሻ +ܾሺܾ + 1ሻ
2 =1
6 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 4ሻ =1
6 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ሺܽ + 1ሻ − ܾ + 1ሻ = ܰଶሺܽ + 1, ܾሻ
• Récurrence sur b
ܰଵሺܽ, ܾ + 1ሻ = ሺܽ − ݅ሻሺܾ + 1 − ݅ሻ
ୀ
= ሺܽ − ݅ሻሺܾ − ݅ሻ
ୀ
+ ሺܽ − ݅ሻ
ୀ
= ሺܽ − ݅ሻሺܾ − ݅ሻ
ିଵ
ୀ
+ 0 + ሺܽ − ݅ሻ
ୀ
ܰଵሺܽ, ܾ + 1ሻ = ܰଵሺܽ, ܾሻ + ܽ + ሺܽ − 1ሻ + ⋯ + 1 − ሾሺܽ − ܾ − 1ሻ + ⋯ + 1ሿ
ܰଵሺܽ, ܾ + 1ሻ =1
6 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 1ሻ +ܽሺܽ + 1ሻ
2 −ሺܽ − ܾ − 1ሻሺܽ − ܾሻ 2
ܰଵሺܽ, ܾ + 1ሻ =1
6 ሺܾ + 1ሻሺܾ + 2ሻሺ3ܽ − ሺܾ + 1ሻ + 1ሻ = ܰଶሺܽ, ܾ + 1ሻ
•
Donc, ܰଵ= ܰଶ=1
6 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 1ሻ
Il reste à résoudre :
16 ܾሺܾ + 1ሻሺ3ܽ − ܾ + 1ሻ = 2010 Qui donne :
ܽ =ܾଷ− ܾ + 12060 3ܾሺܾ + 1ሻ Et comme on a de la chance, ܾ = 4 donne une valeur entière : ܽ = 202
Et la calculatrice, pour ne pas être en reste, affirme que ce sont les deux seules valeurs donnant 2010 carrés.
