La grille aux 2010 carrés
Problème G241 de Diophante
Je dénombre 2010 carrés à l’intérieur d’une grille quadrillée rectangulaire de dimensions a et b, entiers naturels tels que a > b. Les nœuds du quadrillage sont confondus avec les points de coordonnées entières. Les bords des carrés reposent sur le quadrillage et peuvent se chevaucher comme le montre à titre d’exemple la grille (10,5) ci-après :
Quelles sont les dimensions de la grille ? Solution
Soit a = b + r. Un carré de côté b ne peut se déplacer qu’horizontalement dans la grille et y occuper r+1 positions.
Un carré de côté b-1 peut se déplacer horizontalement de r+2 manières et verticalement de 2 manières ; ainsi, il peut occuper 2*(r+2) positions. Etc.
Le nombre total T de carrés dans la grille est :
T = 1*(r+1) + 2*(r+2) + … + k*(r+k) + … b*(r+b)
= r ( 1 + 2 + … + k + … + b) + 12 + 22 + … + k2 + … + b2 = r*b*(b+1)/2 + b*(b+1)*(2b+1)/6
= b*(b+1)*(2b+3r+1)/6
Ici T = 2010 = 2*3*5*67 et 6T = 22*32*5*67. Les seules valeurs envisageables de b, pour faire apparaître b*(b+1), sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 9. Encore faut-il que le
nombre 2010 / b / (b+1) – 2b – 1 soit un multiple de 3.
Seules les solutions b = 1 et b = 4 conviennent.
La grille a pour dimensions : 2010 et 1 ou 202 et 4
