Ces fonctions sont intégrables ainsi que leurs dérivées premières 1) Vérier que pour f 2 Cc1(R), 8 2 R

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LM 315 CALCUL INTÉGRAL

Examen du 27 juin 2007 8h30 - 11h30

La rédaction compte beaucoup dans la notation des questions à gros coeecients : il faut préciser quels théorèmes sont appliqués et en vérier les hypothèses.

Exercice n^o1

Rappel : Pour f 2 L¹(R) on dénit ^f : R ! R, la transformée de Fourier de f, en posant 8 2 R ; ^f() =

Z

Re ^2itf(t) d(t). L'application ^f est continue et bornée.

Soit la fonction dénie par (x) = 1

1 + 4x². On admet que ^() = 1

2e ^jj ce qui entraîne Z

R^d = 1: (1)

On note C_c¹(R) l'espace des fonctions de classe C¹ nulles en dehors d'un intervalle borné. Ces fonctions sont intégrables ainsi que leurs dérivées premières

1) Vérier que pour f 2 C_c¹(R), 8 2 R ; ^f() 12kf⁰k₁. 2) Vérier que pour f 2 C_c¹(R), ^f 2 L²(R).

On suppose f et g dans C_c¹(R).

Dans les questions 3), 4) et 5) on montrera d'abord que les intégrales introduites sont bien dénies, i.e. que les fonctions apparaissant sous les intégrales sont intégrables. Il n'y a pas de question de mesurabilité.

3) Pour tout n 2 N, on pose In = Z

R²f(t)g(s) n ^ n(t s)

d2(s; t). Montrer que Z

R

f()^g() =n) d() = I^ n: (2)

4) Pour tout n 2 N, on pose Jn = Z

R²f(t)g(t) n ^ n(t s)

d2(s; t). Montrer que Jn=

Z

Rf g d; (3)

In Jn kfk¹ kg⁰k1

n : (4)

5) En passant à la limite dans les deux membres de (2) lorsque n ! +1, montrer que Z

R

f ^g d =^ Z

Rf g d.

2 Exercice n^o2

Soit f et g dénies sur R₊ R+ par f(x; t) = sin(tx) (1 + x)p

x et g(x; t) = sin x (t + x)p

x: Soit et dénies sur R₊ par (x) = sup

t0 f(x;t) et (x) = sup

t0g(x;t).

1) Calculer (x) et (x) pour tout x > 0 et montrer que et sont intégrables.

Soit F et G dénies sur R+ par F (t) = Z ₊₁

0 f(x; t) dx et G(t) = Z ₊₁

0 g(x; t) dx.

2) Montrer que F et G sont bien dénies et continues sur R₊. 3) On xe 0 < a < b. Calculer sup

t 2 [a;b]

@

@tf(x; t)

pour x =(b a) et montrer que le théorème de dérivation des intégrales ne s'applique pas directement à F .

4) Montrer qu'il existe une relation simple entre F (t) et G(t) pour tout t > 0.

5) Montrer que G est C¹ sur R₊ et en déduire que F l'est également.

Exercice n^o3

Soit B la boule unité de R³, i.e. centrée en O et de rayon 1, et C l'intérieur du cylindre d'équation x ¹₂₂

+ y² = ¹₄: Calculer le volume de E = B \ C.

On passera en coordonnées cylindriques à savoir en polaires dans le plan Oxy, z restant inchangé et on intègrera d'abord en z, puis en r et enn en .

On admet que l'équation en polaires du cercle C d'équation x ¹₂₂

+ y² = ¹₄ est r = cos, variant de =2 à +=2.

Barème sur 65 I : 2 - 2 - 12 - 10 - 5 II : 4 - 3 - 7 - 2 - 6 III : 12

Ce barème pourra être modié à la hausse.