G241. La grille aux 2010 carrés

G241. La grille aux 2010 carrés

Pour dénombrer les carrés d’une grille a×b avec a > b, fixons-en un de côté c et comptons ses translatés. Il y a en tout

b

X

c=1

(a−c+ 1) (b−c+ 1) =

b

X

d=1

d(d+a−b),d’où ¹₆b(b+ 1) (3a−b+ 1) carrés.

Résolvons à présent l’équationb(b+ 1) (3a−b+ 1) = 6×2010 = 2²3²5·67 avec a > b>2 entiers. Puisque 3a−b+ 1>2b,nous avonsb³<3·2010,d’oùb618.

Variante 1 : éliminons alors les cas 26b 6 18 avecb oub+ 1 présentant un facteur absent à droite. De plus, 3a−b+ 1≡b+b+ 1 (mod 3), ainsi un seul des trois facteurs est un multiple de 3 et a fortiori de 9. Il reste alors 2 cas, b= 4 ou 9, mais seul le premier conduit à une valeuraentière.

Variante 2 : nous en déduisons que 3a−b+ 1 = 67k >2b>4 et il reste à étudier b(b+ 1) = 90,30,20,12 ou 6.

Nous avons donc affaire à une grille 202×4.

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