Problème proposé par Dominique Roux
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C.Une droite variable, passant par B coupe le cercle en deux points P et Q.
1er épisode : on suppose que A est le centre du cercle. Quelles sont les courbes décrites par les 4 centres des cercles inscrit et exinscrits à APQ ?
Le triangle APQ est isocèle ; P appartient au cercle (C), donc les bissectrices de APQ , qui forment un angle droit, coupent le cercle en K et L tels que KL soit un diamètre, donc passe par A, et l’on a les égalités angulaires AKP=APK=KPQ : KL est parallèle à PQ ; en tenant un raisonnement similaire avec le point Q , on en déduit que les bissectrices de AQP passent également par K et L, donc que K et L sont les centres des cercles exinscrits dans les angles P et Q du triangle APQ : les lieux de K et L sont donc le cercle (C).
Soit I le centre du cercle inscrit, et J celui du cercle exinscrit dans l’angle A. Dans les triangles AIK et AJK, rectangles en A, AI=AK tan(AKI), AJ=AK/tan(AJK) . Or AKI=AJK=APQ/2, que nous poserons égal à u. I et J se correspondent dans
l’inversion de cercle directeur (C) ; soit R le rayon de ce cercle, θ l’angle BAI, AI=ρ et AB=a : a cosθ=R sin2u ; tanu=ρ/R ; sin2u=2ρR/(R2+ρ2) ; si x=ρcosθ,
ax=2R2ρ2/(R2+ρ2), équation d’une cubique circulaire, passant par l’origine A, symétrique par rapport à AB, et d’asymptote x=2R2/a.
