D 179 Bien CALE sur l'HYPOTHENUSE
Dans un triangle rectangle ABC, H est le pied de la hauteur issue du sommet B de l’angle droit.
Démontrer que le centre du cercle passant par les centres des trois cercles incsrits aux triangles ABC,ABH et BCH est bien « calé » sur l’hypoténuse AC.
Soient E et F les centres des cercles inscrits à BHC et BHA, soient D = BE∩AC et I = BF∩AC.
Angles : (BI,CE)=(BI,BD)+(BD,BC)+(BC,CE)= 45° + (BH,BC)/2 + (BC,CH)/2 = 45°+ (BH,CH)/2 (BI,CE) = 45°+45° = 90° . Dans le triangle BCI, CE est à la fois bissectrice et hauteur, BCI est isocèle. B et I sont symétriques par rapport à CE.
Soit D' symétrique de D par rapport à CE, on sait que (BD,CE)= 45°= (ED,EC), d'où (ED,ED')=90°
et aussi D'EB = 90° . Les angles D'EB et DEI sont symétriques, DEI = 90° donc E est sur le cercle de diamètre DI. Même raisonnement pour montrer que F est sur ce cercle.
Soit G le centre du cercle inscrit dans (ABC). G = CE∩AF
On a vu que BCI est isocèle, pour les mêmes raisons BAD est isocèle.
Les trois segments GI, GD, GB sont égaux car GI = GB par symétrie par rapport à CG et GD = GB par symétrie par rapport à AG. L'angle DBI est la moitié de l'angle CBA, et, dans le cercle (BD'DI) de centre G, l'angle au centre DGI vaut deux fois l'angle inscrit DBI, donc DGI = CBA = 90° : le triangle DGI est rectangle isocèle et G est aussi sur le cercle de diamètre DI.
Le cercle (EFG) se confond avec le cercle de diamètre DI, il est donc bien calé sur l'hypothénuse .
