Universit´e Claude Bernard Lyon 1 2009-2010 T
HEOR´
EME DE L` ’
ANGLE INSCRIT. C
OCYCLICITE´ . A
PPLICATIONSContenu –
Ces notes, inspir´ees des expos´es pr´esent´es lors de la s´eance de pr´eparation, d´eveloppent certaines remarques faites oralement. Tous les r´esultats peuvent se lire sur la figure du bas de la page 7.Premi`ere partie : th´eor`eme de l’angle inscrit (thm. 1), incontournable, et sa variante faisant intervenir la tangente (thm.
3). S’il faut connaˆıtre les deux ´enonc´es, le second n’est vraiment indispensable que pour le th´eor`eme de l’arc capable (thm. 10) et peut ´eventuellement ˆetre omis si l’on sait s’en passer pour d´emontrer le crit`ere de cocyclicit´e (thm. 8, seconde d´emonstration).
Deuxi`eme partie : reformulation du th´eor`eme de l’angle inscrit en termes d’angles g´eom´etriques (prop. 4). On s’appuie pour cela sur la comparaison entre angles g´eom´etriques et angles orient´es (lemmes 5 et 6). Il n’est pas indispensable d’en parler, mais c’est une question naturelle puisque les angles g´eom´etriques sont ceux que l’on observe le plus naturellement sur un dessin ; en outre, c’est n´ecessaire pour l’application au th´eor`eme de Ptol´em´ee (applications 2.1 et 3.1). Il serait suffisant d’´enoncer la proposition 4 (sans d´emonstration, mais en sachant ´evidemment la d´emontrer).
Troisi`eme partie : crit`ere de cocyclicit´e ou d’alignement (thm. 8), second ´enonc´e incontournable. On donne deux d´emonstrations : la premi`ere avec une tangente, la seconde sans.
Chacune de ces trois parties contient plusieurs applications possibles, de nature diff´erente. Trois autres applications importantes sont pr´esent´ees dans une derni`ere partie : cercle capable (thm. 9), arc capable (thm. 10) et formulation du crit`ere de cocyclicit´e avec des nombres complexes (thm 8bis). Il ne faut pas perdre de vue que le th´eor`eme de l’arc capable, formul´e avec des nombres complexes (thm. 10bis), est pr´ecis´ement la description des lignes de niveau de l’argument de
z−b
z−a (lec¸on 19). Certaines des applications propos´ees peuvent ˆetre utilis´ees pour illustrer d’autres lec¸ons.
Pr´erequis / Cadre –
L’expos´e ci-dessous est au niveau d’une fin de Terminale scientifique, la notion essentielle ´etant celle d’angle orient´e de vecteurs. L’utilisation de d´eterminants pour caract´eriser l’orientation des bases pourrait ˆetre omise en admettant les ´enonc´es des lemmes 5 et 6, que l’on observe facilement sur un dessin.On consid`ere toujours un plan affine euclidien P. Bien que cela ne soit pas indispensable pour le th´eor`eme de l’angle inscrit, il est plus simple d’orienter le plan P et d’identifier syst´ematiquement les angles orient´es avec leurs mesures. Par souci de l´eg`eret´e, on omet d’´ecrire(mod 2
π
) pour les ´egalit´es d’angles orient´es ; les ´egalit´es moduloπ
sont par contre clairement identifi´ees.1. Le th´eor`eme de l’angle inscrit – Soit C un cercle de centre O et soit A, B deux points de C . Th´eor`eme 1 — Quel que soit le point M de C distinct de A et B,
2 (
⁄−−→
MA, − −→
MB) =
⁄( −→
OA, −→
OB).
Premi`ere d´emonstration.
La relation de Chasles permet d’´ecrire : Ÿ(−→OA,−→
OB) = Ÿ(−→
OA,−−→
MA) + Ÿ(−−→
MA,−−→
MB) + Ÿ(−−→ MB,−→
OB).
La r´eflexion
σ
par rapport `a la m´ediatrice du segment[MA] fixe le point O et ´echange les points A et M. Comme une r´eflexion transforme un angle orient´e de vecteurs en son oppos´e, il vient(Ÿ−→
OA,−−→
MA) = −(−−−−−−−→¤
σ
(O)σ
(A),−−−−−−−→σ
(M)σ
(A)) = −⁄(−−→OM,−−→
AM), d’o `u (Ÿ−→
OA,−−→
MA) = ⁄(−−→
AM,−−→
OM) = ⁄(−−→
MA,−−→
MO).
On d´emontre de mˆeme l’identit´e : Ÿ(−−→ MB,−→
OB) = Ÿ(−−→
MO,−−→ MB).
Finalement, une nouvelle application de la relation de Chasles fournit l’´egalit´e voulue : (Ÿ−→
OA,−→
OB) = ⁄(−−→
MA,−−→
MO) + Ÿ(−−→
MO,−−→
MB) + Ÿ(−−→
MA,−−→
MB) = 2 Ÿ(−−→
MA,−−→ MB).
Seconde d´emonstration.
La relation de Chasles permet d’´ecrire : Ÿ(−→OA,−→
OB) = Ÿ(−→
OA,−−→
OM) + Ÿ(−−→
OM,−→
OB).
En consid´erant le triangle MOA, isoc`ele en O, il vient :
π
= Ÿ(−→OA,−−→
OM) + Ÿ(−−→
AM,−→
AO) + ⁄(−−→
MO,−−→
MA) = Ÿ(−→
OA,−−→
OM) + 2⁄(−−→
MO,−−→
MA).
1
De mˆeme, dans le triangle MOB isoc`ele en O :
π
= Ÿ(−−→OM,−→
OB) + 2 Ÿ(−−→ MB,−−→
MO).
En additionnant les deux derni`eres ´egalit´es, nous obtenons : 0= Ÿ(−→
OA,−→
OB) + 2 Ÿ(−−→ MB,−−→
MA) = Ÿ(−→
OA,−→
OB) − 2 Ÿ(−−→
MA,−−→ MB),
ce qu’il fallait d´emontrer.
Commentaire – Les deux d´emonstrations reposent de mani`ere essentielle sur le fait que l’ensemble des angles orient´es de vecteurs est muni d’une structure de groupe ab´elien. La premi`ere fait intervenir de mani`ere explicite l’effet d’une r´eflexion sur les angles orient´es. C’est ´egalement le cas de la seconde, mais de mani`ere implicite : l’´egalit´e des angles `a la base du triangle isoc`ele AOM se d´emontre ´evidemment en faisant intervenir la r´eflexion relative `a la m´ediatrice du segment [AM].
Exemple — Le triangle AMB est rectangle en M si et seulement si le centre O de son cercle circonscrit co¨ıncide avec le milieu du segment [AB]. Ce cas particulier du th´eor`eme 1 se d´eduit ais´ement du th´eor`eme de Pythagore.
Le th´eor`eme 1 affirme que l’angle au centre
⁄( −→
OA, −→
OB) est le double de l’angle inscrit (
⁄−−→
MA, − −→
MB). Il permet en particulier de comparer deux angles inscrits.
Corollaire 2 — Quels que soient les points M et N de C distincts de A et B, (
⁄−−→
MA, − −→
MB) =
⁄( −→
NA, −→
NB) (mod π).
D´emonstration.
Il suffit d’appliquer deux fois le th´eor`eme pr´ec´edent : 2 Ÿ(−−→MA,−−→
MB) = Ÿ(−→
OA,−→
OB) = 2Ÿ(−→
NA,−→
NB), c’est-`a-dire (Ÿ−−→
MA,−−→
MB) = Ÿ(−→
NA,−→
NB) (mod
π
).
Il existe une variante du th´eor`eme 1 faisant intervenir la tangente `a C au point A, not´ee T
A.
Th´eor`eme 3 — Quel que soit le point T de T
Adistinct de A,
2 (
Ÿ− → TA, −→
AB) =
⁄( −→
OA, −→
OB).
D´emonstration.
La relation de Chasles permet d’´ecrire : Ÿ(−→OA,−→
OB) = ÿ(−→
OA,−→
TA) + ÿ(−→ TA,−→
AB) + Ÿ(−→
AB,−→
OB).
En consid´erant la r´eflexion par rapport `a la m´ediatrice du segment[AB], on d´emontre comme dans le th´eor`eme 1 l’identit´e : Ÿ(−→
AB,−→
OB) = Ÿ(−→
OA,−→
BA).
La r´eflexion
σ
par rapport `a la droite(OA) fixe les points O et A. Par ailleurs, les droites (OA) et (AT) ´etant perpendi- culaires,−−−−→A
σ
(T) = −−→ AT=−→TA et donc (ÿ−→
OA,−→
TA) = −(−−−−−−−→¤
σ
(O)σ
(A),−−−−−−→σ
(A)σ
(T)) = − ÿ(−→OA,−→
AT) = ÿ(−→ AT,−→
OA).
Nous obtenons finalement (Ÿ−→
OA,−→
OB) = ÿ(−→ TA,−→
AB) + ÿ(−→ AT,−→
OA) + Ÿ(−→
OA,−→
BA) = ÿ(−→ TA,−→
AB) + ÿ(−→ AT,−→
BA) = 2 ÿ(−→ TA,−→
AB).
Applications — On peut donner deux exemples d’application du th´eor`eme 1.
1.1. La loi des sinus dans un triangle quelconque ABC :
+ γ a
B
A C
I c R O
β
α
b Ÿ
( −→
OA, − →
OI) =
12⁄( −→
OA, −→
OB) = (
Ÿ−→
CA, −→
CB) (mod π), donc sin γ = | sin (
Ÿ−→
CA, −→
CB)| = | sin (
Ÿ−→
OB, − →
OI)| = sin BOI
¯= IB OB = c
2R
En raisonnant de mˆeme avec chaque sommet, on obtient en fin de compte : sin α
a = sin β
b = sin γ
c = 1
2R =
Å2S
abc
ã.
(S est l’aire du triangle ; la derni`ere ´egalit´e s’obtient simplemnt en ´ecrivant S =
12c · b sin α =
abc2·
sinaα) 1.2. ´ Equation polaire d’un cercle passant par l’origine.
+ I O
+
M
ϑ 2ϑ
Si les coordonn´ees polaires (ρ, ϑ ) sont d´efinis par rapport `a la demi- droite O + R
>0−
→ i , i.e. ρ = OM et (
Ÿ− → i , −−→
OM) = ϑ (mod 2π), alors le cercle C
0de centre I = O + − →
i et de rayon 1 a pour ´equation polaire ρ ( ϑ ) = 2 cos( ϑ ).
Il suffit d’´ecrire : OM2= ||−→ OI+−→
IM||2= OI2+ IM2+ 2 cos ◊(−→ OI,−→
IM), d’o`u OM2= 2(1 + cos 2
ϑ
) = 4 cos2ϑ
et OM= 2 cosϑ
.Remarque. Plus g´en´eralement, un cercle C de centreΩ(r,
ϕ
) et passant par le point O est l’image de C0par la similitude s de rapport r et d’angleϕ
. L’´equation polaire de C :ρ
(ϑ
) = 2r cos(ϑ
−ϕ
)se d´eduit directement de celle de C0en ´ecrivant : M(
ρ
,ϑ
) ∈ C ⇔ s−1(M)(r−1ρ
,ϑ
−ϕ
) ∈ C0 ⇔ r−1ρ
= 2 cos(ϑ
−ϕ
).2. Reformulation en termes d’angles g´eom´etriques — Nous consid´erons toujours un cercle C de centre O et deux points distincts A, B de C . On peut reformuler le th´eor`eme 1 et le corollaire 2 en termes d’angles g´eom´etriques si l’on prend en compte la position des points consid´er´es par rapport `a la droite (AB).
Notation pour les angles g´eom´etriques : (−
¸→ u , − → v ) et
˘PQR = (
˝− → QP, −→
QR).
Proposition 4 — 1. Soit M un point de C distinct de A et B.
(i) Si M et O sont du mˆeme cˆot´e de la droite (AB), alors AOB
˘= 2 AMB.
˘(ii) Si M et O sont de part et d’autre de la droite (AB), alors
˘AOB = 2 π − 2 AMB.
˘2. Soit M et N deux points de C distincts de A et B.
(i) Si M et N sont du mˆeme cˆot´e de la droite (AB), alors AMB
˘= ANB.
˘(ii) Si M et N sont de part et d’autre de la droite (AB), alors ANB
˘= π − AMB.
˘O+
A
B M
N 2α
π−α α
La d´emonstration de cette proposition d´ecoulera tr`es facilement des deux lemmes suivants.
Lemme 5 — Soit − → u et − → v deux vecteurs unitaires non colin´eaires.
1. L’angle g´eom´etrique (−
¸→ u , − → v ) est une mesure de l’angle orient´e (u, v) si et seulement si la base (−
’→ u , − → v ) est directe.
2. Si la base (− → u , − → v ) est indirecte, alors − (−
¸→ u , − → v ) est une mesure de l’angle orient´e
ÿ(− → u , − → v ).
D´emonstration.
Il s’agit d’une cons´equence imm´ediate de la formule sin ◊(−→u, −→v) = detB(−→u, −→v), o `u B d´esigne n’importe quelle base orthonorm´ee directe. En effet :cos ˚(−→u, −→v) = cos ◊(−→u, −→v) = (−→u|−→v) ⇐⇒ (◊(−→u, −→v) = ˚(−→u, −→v) (mod 2
π
) ou ◊(−→u, −→v) = −˚(−→u, −→v) (mod 2π
))et, comme ˚(−→u, −→v) ∈]0,
π
[, le signe du sinus permet de distinguer ces deux cas de figure :(−◊→u, −→v) = ˚(−→u, −→v) ⇐⇒ sin ◊(−→u, −→v) > 0 ⇐⇒ la base (−→u, −→v) est directe.
Lemme 6 — Soit A et B deux points distincts et soit M et N deux points n’appartenant pas `a (AB). Pour que M et N soient contenus dans le mˆeme demi-plan ouvert de fronti`ere (AB), il faut et il suffit que les bases ( −−→
MA, −− →
MB) et ( −→
NA, −→
NB) aient la mˆeme orientation.
D´emonstration.
Posons−→i =−→ABAB et soit−→
j le vecteur unitaire orthogonal `a−→
i tel que la base(−→ i ,−→
j) soit directe. Les deux demi-plans ouverts de fronti`ere(AB) sont
Π+= {M ∈ P | (−−→
AM|−→
j) > 0} et Π−= {M ∈ P | (−−→
AM|−→ j) < 0}.
Pour tout point M du plan, detB(−−→
MA,−−→
MB) = detB(−−→
MA,−−→
MB) = detB(−−→
MA,−−→
MA+−→
AB) = detB(−−→
MA,−→
AB) = AB · detB(−→ i,−−→
AM).
En ´ecrivant−−→
AM= (−−→
AM|−→ i ) ·−→
i + (−−→
AM|−→ j) ·−→
j , on en d´eduit l’´egalit´e detB(−−→
MA,−−→
MB) = (−−→
AM|−→
j) · AB · detB(−→ i,−→
j) = (−−→
AM|−→ j) · AB.
Ainsi, deux points M et N n’appartenant pas `a(AB) sont contenus dans le mˆeme demi-plan de fronti`ere (AB) si et seulement si detB(−−→
MA,−−→
MB) et detB(−→
NA,−→
NB) ont le mˆeme signe, donc si et seulement si les bases (−−→
MA,−−→ MB) et (−→
NA,−→
NB)
ont la mˆeme orientation.
Nous sommes maintenant en mesure de reformuler le th´eor`eme 1 et le corollaire 2.
D´emonstration de la proposition 4.
1. Si O∈ (AB), alors ¯AOB=π
et ˘AMB=π2, donc¯
AOB= 2˘AMB= 2
π
− 2˘AMB.Supposons maintenant O∈ (AB). Quitte `a modifier l’orientation du plan, nous pouvons ´egalement supposer que la/ base(−→
OA,−→
OB) est directe, auquel cas Ÿ(−→
OA,−→
OB) = ¯AOB (mod 2
π
) (lemme 5).(i) Si M est situ´e du mˆeme cˆot´e de la droite(AB) que O, alors la base (−−→
MA,−−→
MB) est ´egalement directe (lemme 6) et donc Ÿ(−−→
MA,−−→
MB) = ˘AMB (lemme 5). En appliquant le th´eor`eme 1, il vient alors
AOB¯ = 2˘AMB (mod 2
π
), puis AOB¯ = 2˘AMB car 0 6 ¯AOB, ˘AMB 6π
. (ii) Si M et O sont situ´es de part et d’autre de la droite(AB), alors la base (−−→MA,−−→
MB) est indirecte (lemme 6) et donc (Ÿ−−→
MA,−−→
MB) = −˘AMB (lemme 5). En appliquant le th´eor`eme 1, il vient alors : ¯AOB= −2˘AMB (mod 2
π
).Comme 0 6 ˘AMB 6
π
, le seul entier k tel que−˘AMB+ 2kπ
appartienne `a[0, 2π
[ est k = 1 et donc¯
AOB= 2
π
− 2˘AMB.Remarque : comme 0 6 ¯AOB 6
π
, cette ´egalit´e implique ˘AMB >π2donc l’angle ˘AMB est obtus.2. Introduire le point O et appliquer ce qui pr´ec`ede.
Applications — On peut donner trois applications de la proposition 4.
2.1. Une condition n´ecessaire d’inscriptibilit´e d’un quadrilat`ere convexe dans un cercle (premi`ere moiti´e du th´eor`eme de Ptol´em´ee).
+ α
π−α π−β A
D
C B β
Si un quadrilat`ere convexe non plat ABCD est inscriptible dans un cercle, alors ses angles g´eom´etriques oppos´es sont suppl´ementaires.
En effet : par hypoth`ese, le segment[BD] est contenu dans l’enveloppe convexe de {A, B, C, D}, donc les points B et D sont situ´es de part et d’autre de la droite(AC). De mˆeme, les points A et C sont situ´es de part et d’autre de la droite(BD).
Si le quadrilat`ere est inscriptible dans un cercle, il d´ecoule de la propo- sition 4 que les angles g´eom´etriques ¯BAD et ¯BCD d’une part, ¯ABC et
¯
ADC d’autre part, sont suppl´ementaires.
2.2. Les angles d’un triangle ABC sont aigus si et seulement si le centre du cercle circonscrit appartient `a l’int´erieur du triangle.
Soit C le cercle circonscrit au triangle ABC et soit O son centre. Dire que le point O appartient `a l’int´erieur du triangle ABC, c’est dire que O et chacun des sommets appartiennent au mˆeme demi-plan ouvert de fronti`ere le cˆot´e oppos´e.
Si cette derni`ere condition est v´erifi´ee, alors
2 ¯BAC= ¯BOC<
π
, 2 ¯ABC= ¯AOC<π
et 2 ¯BCA= ¯BOA<π
,d’apr`es la proposition 4, donc : ¯BAC, ¯ABC, ¯BCA<π2. R´eciproquement, si les trois angles de ABC sont aigus, alors 2
π
− 2 ¯BAC, 2π
− 2 ¯ABC, 2π
− 2 ¯BCA>π
et donc n´ecessairement
¯
BOC= 2 ¯BAC, ¯AOC= 2 ¯ABC et BOA¯ = 2 ¯BCA
d’apr`es le point 1 de la proposition 4. On en d´eduit que le point O est int´erieur au triangle ABC par une nouvelle application de la proposition 4 (point 1.(i)).
2.3. Une propri´et´e remarquable des pieds des hauteurs d’un triangle `a angles aigus.
α A
C
B B’
A’
C’
α α
Soit ABC un triangle dont les angles sont aigus. Si A
′, B
′et C
′sont les pieds des hauteurs issues de A, B et C respectivement, alors les hauteurs (resp. les cˆot´es) de ABC sont les bissectrices int´erieures (resp. ext´erieures) du triangle A
′B
′C
′.
Vu l’hypoth`ese sur les angles de ABC, les cˆot´es du triangle issus d’un mˆeme sommet sont situ´es de part et d’autre de la hauteur correspondante.
Les triangles rectangles AA′C et AC′C ayant la mˆeme hypoth`enuse[AC], ils ont le mˆeme cercle circonscrit et les points A′, C′, A, C appartiennent donc `a un mˆeme cercle. Comme les points A et A′sont situ´es de part et d’autre de(CC′), on en d´eduit que les angles ˙CA′C′ et ˘CAC′= ¯BAC sont suppl´ementaires. On d´emontre de mˆeme que les angles ˘BA′B′ et
˘
BAB′= ¯BAC sont suppl´ementaires (consid´erer les triangles rectangles AA′B et AB′B). Nous obtenons ainsi : BA˘′B′= ˙CA′C′,
ce qui montre que les demi-droites[A′B′) et [A′C′) sont sym´etriques par rapport `a la hauteur [AA′] ; celle-ci est donc la bissectrice int´erieure de ces demi-droites. On raisonne de mˆeme avec les points B′et C′.
3. Le crit`ere de cocyclicit´e ou d’alignement — Des points sont dits cocycliques s’ils appartiennent `a un mˆeme cercle. Le corollaire 2 met en ´evidence une propri´et´e angulaire de quatre points cocycliques, et nous allons maintenant voir qu’il s’agit (essentiellement) d’un crit`ere de cocyclicit´e.
Rappelons tout d’abord la caract´erisation angulaire de l’alignement, que nous utiliserons `a plusieurs reprises dans ce qui suit.
Proposition 7 — Soit A, B, C des points du plan tels que C / ∈ {A, B}. Ces points sont align´es si et seulement si (
Ÿ−→
CA, −→
CB) = 0 (mod π ).
D´emonstration.
Il suffit d’observer que deux vecteurs non nuls −→u et −→v sont colin´eaires si et seulement si l’angle orient´e(−◊→u, −→v) est nul ou plat.
Enonc¸ons maintenant le crit`ere de cocyclicit´e ou d’alignement. ´
Th´eor`eme 8 — ´ Etant donn´e quatre points distincts A, B, C, D du plan, les deux conditions suivantes sont
´equivalentes :
(a) ces points sont align´es ou cocycliques ; (b) (
Ÿ−→
CA, −→
CB) = (
Ÿ−→
DA, −→
DB) (mod π).
Premi`ere d´emonstration (utilisant une tangente).
Nous distinguerons deux cas de figure.1. Les points A, B et C sont align´es – On utilise le crit`ere d’alignement rappel´e ci-dessus (proposition 7). L’hypoth`ese se traduit par l’´egalit´e angulaire : ÿ(−→
CA,−→
CB) = 0 (mod
π
). Pour que les quatre points A, B, C, D soient align´es, il faut et il suffit que l’on ait D∈ (AB), c’est-`a-dire Ÿ(−→DA,−→
DB) = 0 (mod
π
), et ceci est le cas si et seulement si Ÿ(−→DA,−→
DB) = (ÿ−→
CA,−→
CB) (mod
π
).2. Les points A, B et C ne sont pas align´es – Soit C le cercle circonscrit au triangle ABC. Il s’agit de l’unique cercle passant par A, B, C, et les quatre points A, B, C et D sont cocycliques si et seulement si D ∈ C .
La condition (a) entraˆıne (b) d’apr`es le corollaire 2.
Supposons maintenant que la condition (b) soit v´erifi´ee et prouvons qu’elle entraˆıne (a). Les trois points A, B et D ne sont pas align´es : en effet, Ÿ(−→
DA,−→
DB) = ÿ(−→
CA,−→
CB) 6= 0 (mod
π
) et l’on applique la proposition 7.Soit C′le cercle circonscrit au triangle ABD. On d´esigne respectivement par TAet TA′les tangentes aux cercles C et C′au point A. Si l’on choisit des points T∈ TAet T′∈ TA′distincts de A,
(ÿ−→ TA,−→
AB) = ÿ(−→
CA,−→
CB) (mod
π
) et Ÿ(−−→
T′A,−→
AB) = Ÿ(−→
DA,−→
DB) (mod
π
) (th´eor`emes 1 et 3), donc(Ÿ−→ TA,−−→
T′A) = ÿ(−→ TA,−→
AB) −Ÿ
(−−→
T′A,−→
AB) = 0 (mod
π
) et les points A, T, T′sont align´es. Nous obtenons ainsi : TA= TA′.Les cercles C et C′passant tous deux par les points A, B et ayant la mˆeme tangente au point A, ils sont ´egaux ; leur centre est le point d’intersection de la m´ediatrice du segment[AB] et de la perpendiculaire `a TA= TA′ passant par A.
Nous en d´eduisons que D appartient `a C , ce qui prouve que les quatre points A, B, C, D sont cocycliques.
Seconde d´emonstration (sans utiliser de tangente).
Le d´ebut est analogue `a celui de la premi`ere d´emonstration. La diff´erence concerne le point 2 : au lieu d’utiliser les tangentes TAet TA′, on consid`ere les centres O, O′des cercles C, C′ et l’on applique le th´eor`eme 1.La condition (b) est ´equivalente `a l’´egalit´e : Ÿ(−→
OA,−→
OB) =(⁄−−→
O′A,−−→
O′B) en vertu du th´eor`eme 1.
Par ailleurs, en consid´erant les triangles isoc`eles AOB et AO′B : 2Ÿ(−→
AB,−→
AO) =
π
− Ÿ(−→OA,−→
OB) et 2Ÿ
(−→
AB,−−→
AO′) =
π
−⁄(−−→
O′A,−−→
O′B), donc
2Ÿ
(−→
AO,−−→
AO′) = 2Ÿ (−→
AB,−−→
AO′) − 2Ÿ(−→
AB,−→
AO) = 0, puis −−→Ÿ (AO,−−→
AO′) = 0 (mod
π
).Les trois points A, O et O′ sont donc align´es sur une mˆeme droite ∆(proposition 7). Par ailleurs, les points O et O′ appartiennent tous deux `a la m´ediatrice ∆′ du segment [AB]. Comme∆6=∆′, ces deux droites ont au plus un point d’intersection et donc O= O′. Nous obtenons ainsi C = C′, puis D∈ C .
Applications — Le th´eor`eme 8 a de nombreuses applications ; en voici trois.
3.1. Inscriptibilit´e d’un quadrilat`ere convexe dans un cercle (Th´eor`eme de Ptol´em´ee).
+ α
π−α A
C
+ D
B
π−β
β
Un quadrilat`ere convexe ABCD non plat est inscriptible dans un cercle si et seulement si ses angles g´eom´etriques oppos´es sont suppl´ementaires.
On sait d´ej`a que la condition est n´ecessaire (application 2.1) et il faut maintenant prouver qu’elle est suffisante. Le quadrilat`ere ABCD ´etant convexe et non plat, les points A et C sont situ´es de part et d’autre de la droite(BD) et les bases (−→
AB,−→
AD) et (−→
CB,−→
CD) ont par cons´equent des orientations oppos´ees (lemme 6).
Si l’on oriente le plan de telle sorte que la base(−→
AB,−→
AD) soit directe, alors (lemme 5) (Ÿ−→
AB,−→
AD) = ¯BAD et ÿ(−→
CB,−→
CD) = − ¯BCD, donc ÿ(−→
CB,−→
CD) = −(
π
− ¯BAD) = Ÿ(−→AB,−→
AD) (mod
π
) et les points A, B, C, D sont cocycliques.3.2. Une propri´et´e de l’orthocentre d’un triangle.
H
B”
A
C’ A’ A”
C
C” B
B’
Les sym´etriques de l’orthocentre d’un triangle ABC non plat par rapport aux trois cˆot´es appartiennent au cercle circonscrit `a ABC.
Notons H l’orthocentre du triangle ABC et d´esignons par A′, B′ et C′ (resp.
A′′, B′′et C′′) les projet´es orthogonaux de H sur (resp. les sym´etriques de H par rapport `a)(BC), (AC) et (AB). Les r´eflexions transformant un angle orient´e en son oppos´e,¤(−−→
A′′B,−−→
A′′C) = −Ÿ(−→
HB,−→
HC) =(¤−−→
HC′′,−−→
HB′′). Les triangles AHB′′et AHC′′´etant rectangles en B′et C′,
(⁄−→
HA,−−→
HB′′) =
π
2+ Ÿ(−→
AH,−→
AC) (mod
π
) et (⁄−−→HC′′,−→
HA) =
π
2+ Ÿ(−→
AB,−→
AH) (mod
π
),d’o `u
¤(−−→
A′′B,−−→
A′′C) = ¤
(−−→
HC′′,−−→
HB′′) =⁄
(−−→
HC′′,−→
HA) +⁄
(−→
HA,−−→
HB′′)
= Ÿ(−→
AB,−→
AH) + Ÿ(−→
AH,−→
AC) (mod
π
)= Ÿ(−→
AB,−→
AC) (mod
π
).En appliquant le th´eor`eme 8, on en d´eduit que le point A′′appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.
3.3. Les droites de Simson d’un triangle
M
M1
M2
M3
A
B
C
Soit ABC un triangle non plat et M un point du plan distinct de A, B et C. Les projet´es orthogonaux de M sur les cˆot´es du triangle sont align´es si et seulement si M appartient au cercle circonscrit `a ABC.
On commence par supposer que les projet´es de M sont tous distincts de A, B et C. En utilisant les triangles rectangles qui apparaissent sur la figure pour rep´erer les points cocycliques, on obtient facilement
(Ÿ−−→
MA,−−→
MB) = (¤−−→
MA,−−→
MM1) + ¤(−−−→
M3M1,−−→ MB)
= (¤−→
CA,−−−→
M2M1) + ¤(−−−→
M3M1,−→
CB) (mod
π
)= (ÿ−→
CA,−→
CB) + ¤(−−−→
M3M1,−−−→
M2M1) (mod
π
), donc Ÿ(−−→MA,−−→
MB) − ÿ(−→
CA,−→
CB) =(−−−→¤ M3M1,−−−→
M2M1) (mod
π
), et la conclusion d´ecoule de la proposition 7 et du th´eor`eme 8.Le cas o `u l’un des projet´es de M est un sommet du triangle se traite s´epar´ement. Supposons, pour fixer les id´ees, M1= A, i.e. (MA) ⊥ (AB). On a M2∈ (AC) et M26= A (sinon A, B et C seraient align´es), donc (M1M2) = (AC). On en d´eduit que M1, M2et M3sont align´es si et seulement si M3= C, donc ssi (CM) ⊥ (BC). D’autre part, M appartient `a C ssi M est le point de C diam´etralement oppos´e `a B, donc ssi(CM) ⊥ (BC). Ceci ach`eve la d´emonstration.
4. D’autres applications — Parmi les nombreuses applications possibles des r´esultats de cette lec¸on, en voici quelques-unes particuli`erement importantes.
4.1. Le th´eor`eme du cercle capable — Soit A et B deux points distincts du plan. ´ Etant donn´e un nombre r´eel α , on d´esigne par C
αl’ensemble des points M du plan, distincts de A et B, tels que
(
⁄−−→
MA, − −→
MB) = α (mod π).
Th´eor`eme 9 — (i) Si α = 0 (mod π), alors C
α∪ {A, B} est la droite (AB).
(ii) Si α 6= 0 (mod π ), alors C
α∪ {A, B} est un cercle passant par les points A et B, caract´eris´e par les conditions ´equivalentes suivantes :
– son centre est l’unique point O de la m´ediatrice du segment [AB] tel que (
Ÿ−→
AB, −→
AO) =
π2− α (mod π ) ;
+
B M
A
α +
α α+π
π 2−α
O
T
α+π N
– sa tangente au point A est la droite (AT), o`u T 6= A est n’importe quel point tel que (
Ÿ− → TA, −→
AB) = α (mod π).
Premi`ere d´emonstration (utilisant une tangente).
L’assertion (i) est une reformulation de la proposition 3.(ii) Fixons un point T0distinct de A tel que Ÿ(−−→
T0A,−→
AB) =
α
(modπ
). La droite T = (AT0) est distincte de (AB) carα
6= 0 (modπ
) etT = {T ∈ P − {A} | Ÿ(−→ TA,−−→
T0A) = 0 (mod
π
)} = {T ∈ P − {A} | ÿ(−→ TA,−→AB) =
α
(modπ
)}d’apr`es (i).
Comme T 6= (AB), il existe un unique cercle C passant par les points A, B et tangent `a la droite T . Quel que soit le point M de C distinct de A et B,
(Ÿ−−→
MA,−−→
MB) = Ÿ(−−→
T0A,−→
AB) par application du th´eor`eme 3, donc M∈ Cαet C ⊂ Cα∪ {A, B}.
Consid´erons maintenant un point M∈ Cα. Comme Ÿ(−−→
MA,−−→
MB) =
α
6= 0 (modπ
), les points A, B et M ne sont pas align´es. Soit C′le cercle circonscrit au triangle AMB et soit T′6= A un point de la tangente `a C′au point A. Les th´eor`emes 1 et 3 ainsi que la d´efinition de Cαimpliquent(Ÿ−−→
T′A,−→
AB) = Ÿ(−−→
MA,−−→
MB) =
α
(modπ
),donc T′∈ T et par suite C′= C . Ceci prouve que le point M appartient au cercle C , d’o`u finalement Cα∪ {A, B} = C . Finalement, si O d´esigne le centre du cercle Cα∪ {A, B}, l’´equivalence des deux conditions envisag´ees se d´eduit simplement de l’identit´e
π
2 = ÿ(−→ TA,−→
AO) = ÿ(−→ TA,−→
AB) + Ÿ(−→
AB,−→
AO) (mod
π
).
Seconde d´emonstration (n’utilisant pas de tangente).
(ii) Soit −→u un vecteur non nul tel que ÿ(−→AB, −→u) =π2−
α
(modπ
).Si
α
6= 0 (modπ
), alorsπ2−α
6=π2 (modπ
) ; la droite (A; −→u) n’est donc pas perpendiculaire `a (AB) et elle intersecte par cons´equent la m´ediatrice du segment[AB] en un unique point O tel queŸ(−→
AB,−→
AO) = ÿ(−→
AB, −→u) =
π
2 −
α
(modπ
).En consid´erant le triangle isoc`ele AOB, ceci implique Ÿ(−→
OA,−→
OB) =
π
− 2Ÿ(−→AB,−→
AO) = 2
α
(mod 2π
).Soit C le cercle de centre O et de rayon OA. Pour tout point C de C distinct de A et B, (ÿ−→
CA,−→
CB) =1 2
Ÿ(−→
OA,−→
OB) =
α
(modπ
) en vertu du th´eor`eme 1 et donc C⊂ Cα∪ {A, B}.Consid´erons r´eciproquement un point M de Cαet fixons un point C de C distinct de A et B. On a alors (Ÿ−−→
MA,−−→
MB) = ÿ(−→
CA,−→
CB) (mod
π
),donc les points A, B, C et M sont cocycliques ou align´es en vertu du th´eor`eme 4. Comme C est l’unique cercle passant par les trois points non align´es A, B et C, nous en d´eduisons que le point M appartient `a C .
4.2. Le th´eor`eme de l’arc capable — Soit A et B deux points distincts du plan. ´ Etant donn´e un nombre r´eel α , on d´esigne par A
αl’ensemble des points M du plan, distincts de A et B, tels que
(
⁄−−→
MA, −− →
MB) = α (mod 2π).
Comme (
⁄−−→
MA, −− →
MB) = α (mod π) ⇐⇒
Ç(
⁄−−→
MA, −− →
MB) = α (mod 2π) ou (
⁄−−→
MA, −− →
MB) = α + π (mod 2π)
å, pour tout point M du plan (distinct de A et B), il est d’embl´ee clair que l’on a
C
α= A
α∪ A
α+π.
Nous allons voir que A
αet A
α+πsont les deux arcs de C
αd’extr´emit´es A et B.
Th´eor`eme 10 — (i) Si α = 0 (mod 2 π ), alors A
α= (AB) − [AB].
(ii) Si α = π (mod 2π), alors A
α=]AB[.
(iii) Si α 6= 0 (mod π ), alors A
α∪ {A, B} est un arc de cercle d’extr´emit´es A et B. Plus pr´ecis´ement : A
α= C
α∩ Π,
o`u Π est le demi-plan ouvert de fronti`ere (AB) contenant les points T tels que (
Ÿ− → TA, −→
AB) = α (mod 2 π ).
B M
A
α +
T
α
D´emonstration.
Les points (i) et (ii) sont clairs.(iii) Soit T un point du plan distinct de A tel que ÿ(−→ TA,−→
AB) =
α
(mod 2π
). Ce point n’appartient pas `a la droite (AB) puisqueα
6= 0 (modπ
) et l’on d´esigne parΠle demi-plan ouvert de fronti`ere(AB) qui le contient. Quel que soit le point M de Cα,(Ÿ−−→
MA,−−→
MB) = ÿ(−→ TA,−→
AB) (mod 2
π
) ou Ÿ(−−→MA,−−→
MB) = ÿ(−→ TA,−→
AB) +
π
(mod 2π
).Comme sin(
α
) 6= 0 et sin(x +π
) = − sin(x), nous sommes dans le premier (resp. le second) cas de figure si et seulement si sin Ÿ(−−→MA,−−→
MB) et sin ÿ(−→ TA,−→
AB) ont le mˆeme signe (resp. ont des signes oppos´es), c’est-`a-dire si et seulement si les bases (−−→
MA,−−→ MB) et (−→
TA,−→
AB) d´efinissent la mˆeme orientation (resp. des orientations oppos´ees).
Les bases B= (−→ TA,−→
AB) et B′= (−→ TA,−→
TB) ont la mˆeme orientation car detB(B′) = detB(−→
TA,−→
TB) = detB(−→ TA,−→
TA+−→
AB)
= detB(−→ TA,−→
AB) = 1.
La conclusion d´ecoule maintenant du lemme 6 : pour tout point M de Cα, M∈ Aα ⇐⇒ les bases(−−→
MA,−−→ MB) et (−→
TA,−→
AB) d´efinissent la mˆeme orientation
⇐⇒ les bases(−−→
MA,−−→ MB) et (−→
TA,−→
TB) d´efinissent la mˆeme orientation
⇐⇒ M et T appartiennent au mˆeme demi-plan de fronti`ere(AB)
⇐⇒ M∈Π
Nous obtenons ainsi : Aα= Cα∩Π.
4.3. Utilisation des nombres complexes — On munit le plan P d’un rep`ere orthonorm´e direct (O; − → u , − → v ) que
l’on utilise pour identifier P et C : au point M = O + x · − → u + y · − → v correspond son affixe z
M= x + iy.
Si A, B et M sont trois points distincts d’affixes respectives a, b et z, alors arg(z − a) = (−
Ÿ→ u , −−→
AM) et arg(z − b) = (−
Ÿ→ u , −− → BM),
donc (
⁄−−→
MA, − − →
MB) = (
⁄−−→
AM, −− →
BM) = arg(z − b) − arg(z − a) = arg
Åz − b
z − a
ã.
Ceci permet tout d’abord de reformuler le crit`ere de cocyclicit´e.
Th´eor`eme 8bis — Quatre points distincts du plan d’affixes a, b, c, d sont align´es ou cocycliques si et seulement
si c − b
c − a · d − a d − b ∈ R.
D´emonstration.
Le th´eor`eme 8 fournit la condition argÅc− b c− a·d− a
d− b ã
= arg Åc− b
c− a ã
− arg Åd− b
d− a ã
= 0 (mod
π
)et l’argument d’un nombre complexe z6= 0 est nul modulo
π
si et seulement si z∈ R.On peut ´egalement reformuler les th´eor`emes du cercle et de l’arc capable (th´eor`emes 9 et 10).
Th´eor`eme 9bis — Soit a et b deux nombres complexes distincts. Soit α ∈ R. L’ensemble des z ∈ C − {a, b} tels que
arg
Åz − b
z − a
ã= α (mod π ) est
(i) la droite (ab), priv´ee de a et b, si α = 0 (mod π) ;
(ii) le cercle passant par a et b et tangent `a la droite (at), o`u t = a − e
−iα(b − a), priv´e des points a et b.
Th´eor`eme 10bis — Soit a et b deux nombres complexes distincts. Soit α ∈ R. L’ensemble des z ∈ C − {a, b}
tels que
arg
Åz − b
z − a
ã= α (mod 2 π ) est
(i) la droite (ab) priv´ee du segment [a, b] si α = 0 (mod 2 π ) ; (ii) l’int´erieur du segment [a, b] si α = 0 (mod 2π) ;
(iii) l’arc de cercle ouvert d’extr´emit´es a, b et tangent `a la demi-droite [at), o`u t = a − e
−iα(b − a) si α 6=
0 (mod π).
D´emonstrations.
a
α
b t
×ei(π−α)
Ces deux ´enonc´es sont des reformulations imm´ediates des th´eor`emes 9 et 10, en observant que si T est un point d’affixe t6= a tel que AT = AB, alors ÿ(−→
TA,−→
AB) =
α
(mod 2π
) si et seulement si b − a = eiα(a − t), c’est-`a-diret− a = −e−iα(b − a) = ei(π−α)(b − a).
