Enoncé E586 (Diophante) Le carré noir
Un échiquier comporte 64 cases en alternance noires et blanches. A l’intérieur de cet échiquier on peut tracer le contour d’un rectangle quelconque qui repose sur les bords des cases puis inverser la cou- leur des cases qu’il contient. Déterminer le minimum d’opérations qui permettent de rendre l’échiquier complètement noir.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Huit opérations suffisent. Pour les quatre premières, les rectangles sont les colonnes b, d, f, h de la notation traditionnelle de l’échi- quier. Le résultat en est que les rangées 1, 3, 5 et 7 à partir du bas sont noires, et les rangées 2, 4, 6 et 8 sont blanches. Ces quatre rangées blanches sont les quatre rectangles des quatre dernières opérations.
Plus généralement, un damier 2n×2ndemande 2nopérations ; un damier (2n+ 1)×(2n+ 1) en demande 2nsi la case centrale est noire, 2n+ 1 si elle est blanche.
