D1931. Trois jeux de perpendiculaires

D1931. Trois jeux de perpendiculaires

1er jeu

La droite qui relie l’orthocentre H d’un triangle ABC au milieu M du côté BC, coupe le cercle circonscrit au triangle ABC en un point P. Démontrer que les droites AP et PM sont perpendiculaires entre elles.

Soient les coordonnées des 3 points , et ∶ (0,0), (, 0) et (, ). Les coordonnées de l'orthocentre sont :

= et =( − ) Les coordonnées de sont (/2,0) et l'équation de la droite est :

= −2( − )

( − 2) +( − ) ( − 2) L'équation du cercle circonscrit est :

− 2

+ −+ − a)

2 =(( − )+ )(+ ) 4

Le point d'intersection , d'ordonnée positive, a pour coordonnées :

!=(2( − ) − ( − 2))

4( − )+ ( − 2) et != ( − ) 4( − )+ ( − 2) L'équation de la droite est :

=( − 2)

2( − ) + 2 − 2 Et produit des pentes des droites et est :

−2( − )

( − 2) .( − 2) 2( − ) = −1 Donc les droites sont perpendiculaires.

2ème jeu

O est le centre du cercle circonscrit au triangle isocèle ABC de sommet A et de base BC. D est le milieu de AB et E est le centre de gravité du triangle ACD. Démontrer que les droites OE et CD sont perpendiculaires entre elles.

Soient les coordonnées des 3 points , et ∶ (−, 0), (, 0) et (0, ). Les coordonnées de $ sont :

% = −

2 &' ^% = 2 Le centre de gravité E, défini par ()))))* + ()))))* + ($)))))* = 0)*, a pour coordonnées :

+=,+ -+ %

3 =

6 et ⁺=,+ -+ %

3 =

2 L'équation du cercle circonscrit est :

+ −− 2

=(+ ) 4 Et les coordonnées de son centre 0 sont :

1= 0 &' 1 =− L'équation de la droite 0( est : 2

=3

+− 2 L'équation de la droite $ est :

= − 3 + Et produit des pentes des droites 0( et $ est : 3

− 3 .3

= −1 Donc les droites sont perpendiculaires.

3ème jeu

Un cercle de centre P passant les sommets A et C d’un triangle ABC coupe le côté BA au point D et le côté BC au point E.Les cercles circonscrits aux triangles ABC et BDE se coupent en une deuxième point Q. Démontrer que les droites BQ et PQ sont perpendiculaires entre elles.

Soient les coordonnées des 3 points , et ∶ (, 0), (−, 0) et (, ). Et le point P centre du cercle (2) passant par et : != 0 et != ℎ L'équation de (₂) est + ( − ℎ)= (+ ℎ)

L'équation de la droite est + ( − ) − = 0 L'équation de la droite est − + ( + ) − = 0 Les coordonnées de $, intersection de (2) et (), sont :

% =(− ( − )) + 2( − )ℎ

( − )+ et % =2(− + ℎ) ( − )+ Les coordonnées de (, intersection de (2) et (), sont :

+=( + − )( + + ) + 2( + )ℎ

( + )+ et +=2(( + ) + ℎ) ( + )+ Le cercle (4), circonscrit au triangle a pour équation :

+ +− −

2

=(( − )+ )(( + )+ ) 4

Le cercle (), circonscrit au triangle $( a pour équation : ( − )+ − ℎ −− +

2 = − − + 2ℎ

2c

Les coordonnées du point 6, autre intersection de (₄), et () sont : 7 = (( − ℎ) + (+ ( − ℎ))ℎ)

⁸+ ⁸+ ( − 2ℎ) + ℎ− 2(− ℎ) ⁷= (− + ℎ)(( + ) + ℎ) ⁸+ ⁸+ ( − 2ℎ) + ℎ− 2(− ℎ) L'équation des droites 6 et 6 sont :

( 6): =− + ℎ

+ ℎ (6): = −

− + ℎ + + − + ℎ Et produit des pentes des droites 6 et 6 est :

−

− + ℎ .− + ℎ = −1 Donc les droites sont perpendiculaires.